Невластивий інтеграл від необмеженої функції

Означення. Нехай функція визначена в проміжку . Точку будемо називати особливою точкою функції , якщо не обмежена при .

Нехай функція інтегровна на будь-якому відрізку вигляду , де і . Тоді, якщо існує скінченна границя , то ця границя називається невластивим інтегралом від необмеженої функції по проміжку і позначається . Таким чином , якщо границя в правій частині існує і скінченна. В цьому випадку кажуть, що невластивий інтеграл збігається.

Рис. 21

Цілком аналогічно визначається невластивий інтеграл від необмеженої функції, коли особлива точка розташована на лівому кінці проміжку інтегрування, тобто в точці :

.

Якщо ж функція має особливу точку всередині проміжка , то за означенням при умові збіжності обох інтегралів у правій частині.

Приклади. Обчислити невластиві інтеграли або довести їх розбіжність.

а) . Тут особлива точка тому що і підінтегральна функція необмежена в околі цієї точки.

інтеграл збігається.

б) . При особливої точки немає, при особливою точкою є точка .

Якщо , то .

Таким чином заданий інтеграл збігається при і розбігається при .