И Построение графика

1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ

О п р е д е л е н и е 1. Функция называется непрерывной в точке , принадлежащей области определения , если функция имеет в точке конечный предел, равный числу , то есть

О п р е д е л е н и е 2. Функция называется непрерывной справа (слева) в точке из , если в точке существует конечный правый (левый) предел функции , равный числу , то есть

О п р е д е л е н и е 3. Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в любой его точке.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале , непрерывна справа в точке непрерывна слева в точке .

Т е о р е м а 1. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда в этой точке справедливы равенства:

Т е о р е м а 2. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно.

Т е о р е м а 3. Если функция непрерывна в точке и существует конечный предел , то справедливо равенство:

.

Т е о р е м а 4. Пусть функция непрерывнав точке и функция непрерывна в точке Тогда сложная функция

непрерывна в точке .

Т е о р е м а 5. Сумма, разность, произведение, частное, суперпозиция конечного числа непрерывных функций (то есть любая элементарная функция) есть функция, непрерывная во всех точках области определения.

О п р е д е л е н и е 4. Точка , являющаяся предельной точкой множества , называется точкой разрыва функции , если в точке эта функция либо не определена, либо определена, но нарушено условие непрерывности.

О п р е д е л е н и е 5. Точка разрыва называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке предел функции существует, но в точке либо не определена, либо значение не совпадает с найденным пределом, то есть

О п р е д е л е н и е 6. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы, то есть

О п р е д е л е н и е 7. Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности.