Предел функции в точке

О п р е д е л е н и е 10. Точка называется предельной точкой множества , если в любой ее окрестности найдется хотя бы одна точка множества , отличная от . При этом точка может и не принадлежать множеству .

О п р е д е л е н и е 11. Число называется пределом (по Гейне) функции в точке (или при ), если для любой последовательности значений аргумента сходящейся к и состоящей из чисел, отличных от , соответствующая последовательность

сходится к числу

О п р е д е л е н и е 12. Число называется пределом (по Коши) функции в точке (или при ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство:

Для обозначения предела используют символику:

(или при ).

З а м е ч а н и е 2. Определения 11 и 12 эквивалентны.

О п р е д е л е н и е 13. Число называется левым (правым ) пределом функции в точке (или при ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию (), справедливо неравенство:

Используют символику:

для правого предела,

для левого предела.

О п р е д е л е н и е 14. Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать отвечающее ему положительное число такое, что для всех , удовлетворяющих условию

будет справедливо неравенство:

При этом используют символику:

О п р е д е л е н и е 15. Говорят, что функция имеет в точке предел если для любого положительного числа можно указать отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство:

При этом используют символику:

.

5. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА

1) ;

2) Справедливо равенство (первый замечательный предел):

;

3) Если то ;

4) Справедливо равенство (второй замечательный предел):

(или ),

где основание натурального логарифма, ;

5) Если то

Если существуют конечные пределы

, ,

то справедливы следующие равенства:

6)

7) , если

8)

9)

10) .