Производная

приращения функции к приращению ее аргумента в точке при стремлении к нулю, если этот предел существует.

Используют обозначения:

Следовательно, по определению

О п р е д е л е н и е 2. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием функции.

З а м е ч а н и е 1. Число равно скорости изменения функции в точке – физический смысл производной.

Число равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке геометрический смысл производной. То есть , где угол, образующийся с осью Ох касательной (l) к графику функции , проходящей через точку , см. рис. 1

Уравнение касательной (l) имеет вид:

.

у

(l)

М

a

О х

Рис. 1

О п р е д е л е н и е 3. Правой (левой) производной функции в точке называется правый (левый) предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке х при стремлении к нулю, если этот предел существует.

Используют, соответственно, обозначения:

,

Следовательно, по определению

Т е о р е м а 1. Функция имеет производную в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют правая и левая производные и они равны между собой. При этом

З а м е ч а н и е 2. Базируясь на понятиях односторонних производных, вводят понятия правой и левой касательных к графику функции в точке М. Причем в условиях теоремы 1 правая и левая касательные совпадают.