Дифференцирование функций, заданных параметрически

Если функция задана параметрически двумя уравнениями , , , то ее производные вычисляются по формулам:

, .

Пример1. Найти и , если функция задана параметрически: .

Решение. Последовательно находим производные: , ; , ;

, .

Пример 2.Написать уравнение касательной к кривой

в точке t₀ = .

Р е ш е н и е. Уравнение касательной ищем в виде: у – у ₀ = k (x – x ₀ ),

где x ₀ = t ₀ cos t ₀ – 2sin t ₀ = –­­ 2; у ₀ = t ₀ sin t ₀ + 2 cos t ₀= .

Найдем k = при t = t₀. Так как = cos t – t sin t – 2 cos t =– t sin t– cos t, = sin t + t cos t–2 sin t= t cos t – sin t,

то , поэтомy k при t = и уравнение касательной имеет вид:

.

Дифференцирование неявных функций

Уравнение задает функцию неявно, на интервале , если для всех выполняется равенство .

Для вычисления производной функции следует продифференцировать по тождество , помня, что есть функция от x, а затем полученное уравнение разрешить относительно .

Пример 1. Найти значение производной в точке для функции, заданной неявно уравнением .

Решение. Дифференцируя по x обе части данного уравнения и считая при этом функцией от x, получаем:

,

откуда

.

Полагая x = 1, y = –1, находим .