Непрерывность элементарных ф-ций

1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. Df(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; lim_h®0Df(x)=0;

2) f(x)=x; Df(x)=x+h-x=h Þlim_h®0h=0;

3)f(x)=xⁿ, nÎN –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций Þ по индукции xⁿ=x^n-1×x;

4)f(x)=a0xⁿ+a1x^n-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций;

5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xⁿ+a1x^n-1+…+an)/(b0x^m+b1x^m-1+..+b^m)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;

6) f(x)=sinx Лемма "xÎR, |sinx|<=|x| Рассмотрим еденичную окружность.Ð(OB,ox)=Ðx; Ð(OB’,ox)=Ðx 0<=x<=p/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки Þ |BB’|<=BAB’; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx Þ 2Rsinx<=2rx; sinx<=x; Если -p/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x|; 0<-x<=p/2 Если |x|>p/2 Þ |sinx|<=1<p/2<|x| {док} что sinx- непрерывна. |Df(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| lim_h®0sinh/2=0

7)f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |Df(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2| |h|®0;

8)f(x)=a^{x –}непр на всей числ пр,a>=0 Df=(a^x+h-a^x)=a^x(a^h-1) lim_h®0a^x(a^h-1)=0;

9)f(x)=log_ax a>0 a¹1 непрерывна на (0,+¥) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр.

23. Теорема ВЕЙЕРШТРАССА.

Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки

Контрпример 1. f(x)=1/2 на (0;1] ® f – неогр. на (0;1] хотя и непрерывны.

Контрпример 2. f(x)=x; на (0;1) f(x) – непр. inf(xÎ(0;1))x=0, но т-ки x_Î(0;1):f(x_)=0, т-ки x*, хотя sup(xÎ(0;1))x=1

Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b] f(x) неогр.

Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке d (d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны f непр. на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно большим 0.

Док-во т-мы 2. Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при хÎ[a,b])=M(<¥). InfE(f)= inff(x)=m(m>-¥). Для опр. докажем [a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е. $ х*:f(x)=M. Допустим противное, такой т-ки не $ и сл-но f(x)<M "xÎ[a,b] рассмотрим вспомогат. ф-цию g(x)=1/(M-f(x) при хÎ[a,b]. g(x) – непр. как отношение 2-х непр. ф-ций и то знач. 0 согластно т-ме 1 g(x)- огран. т.е. $ c>0

!0<g(x)£c g³0, на [a,b] – 1/(M-f(x))£c => 1£c(M-f(x)) => f(x) £M-1/c "xÎ[a,b]

Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в правой части стоит “C”

Следствие: если f(x) непр. [a,b]тогда она принимает все знач. заключ. Между ее max и min, т.е. E(f)=[m;M], где m и M –max и min f на отрезке.