Числовые последовательности.Предел числовой последовательности

3. Необходимый признак сходности числ.посл.(Теорема):

Если { } сходится,то она ограничена.

Док-во:

Воспользуемся определением сходимости обозначив через ;по определению: < ,

Замечания: 1.

а) в обратную сторону не утверждение действует

б) если последовательность ограничена,то она не обязательно сходиться.

4. Теорема о переходе к пределу в неравенстве:

Пусть и ; ,Тогда Док-во: предложим противное: > < ;по определению пределов:

(*) <

(**) <

будут выполнены (*) и (**)

< < < < ;т.е

< ,что противоречит условию значит < не верно,а -верно(утверждение теоремы);

если в условии теоремы записать,что < ; то

<

>

=

4. Теорема о 2-х милиционерах:

Пусть и : ;

Док-во:

Пусть >0 тогда по опр.пред:

(*) < ;

(**) < ;

тогда вып (*) и (**)

т.е