Правило Лопиталя. Формула Тейлора

В случае неопределенностей вида и при вычислении пределов часто бывает полезным правило Лопиталя, которое задается следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть функции f (x) и g (x) удовлетворяют следующим условиям:

1) определены и дифференцируемы на интервале (a; b), за исключением, быть может, точки причем и

2) (либо );

3) существует предел тогда существует предел отношений функций причем

(17.19)

Правило Лопиталя можно использовать последовательно несколько раз.

Аналогичное правило верно в случае

Если при вычислении пределов возникает неопределенность иного вида, то вначале пределы необходимо свести к неопределенности вида или а затем использовать правило Лопиталя.

В частности, выражения, которые приводят к неопределенностям вида тождественно преобразуют к такому выражению, которое приводят к неопределенности вида или

Неопределенности вида возникают при рассмотрении функции типа С помощью тождества

(17.20)

они сводятся к неопределенности вида а затем – к или

Если функция f (x) имеет в некоторой окрестности точки производные до ()-го порядка включительно, то при верна формула Тейлора:

(17.21)

где – остаточный член формулы Тейлора.

Существует несколько форм записи остаточного члена. В частности, в форме Лагранжа:

Если в формуле Тейлора получим частный вид формулы Тейлора – формулу Маклорена:

где

Верны следующие формулы Маклорена:

(17.22)

где

где

(17.23)

где

(17.24)

где

где

Формулы Маклорена могут быть использованы в приближенных вычислениях. При этом абсолютная погрешность приближения в случае чередования знаков в формуле Маклорена не превосходит абсолютной величины первого отбрасываемого слагаемого.

Пример 1. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя:

1) 2) 3)

4) 5)

Решение. 1) Непосредственное вычисление предела дает неопределенность вида Поскольку условия теоремы 1 выполняются, используем правило Лопиталя. По формуле (17.19) имеем:

2) Непосредственное вычисление предела дает неопределенность вида поэтому используем правило Лопиталя:

3) Имеем неопределенность вида Поэтому, чтобы воспользоваться правилом Лопиталя, преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

4) Имеем неопределенность вида Для того чтобы использовать правило Лопиталя, преобразуем вначале выражение с помощью формул тригонометрии:

5) Так как приходим к неопределенности вида то вначале преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

Получили неопределенность вида Преобразовав выражение, используем правило Лопиталя:

Используем далее эквивалентность бесконечно малых:

Пример 2. Разложить многочлен по степени х + 2.

Решение. Используем формулу (17.21). В данном случае Тогда

Найдем производные функции:

Все производные порядка выше пятого равны нулю. Вычислив значение полученных производных в точке х ₀ = –2, получаем:

Подставив найденные значения в формулу (17.21), получим:

Пример 3. Вычислить предел с помощью формул Маклорена:

1) 2)

Решение. 1) Используем формулу Маклорена (17.22). Тогда

Выражение в правой части равенства эквивалентно величине при так как остальные слагаемые имеют более высокий порядок малости («быстрее» стремятся к 0), т. е.

По формуле (17.24) получаем:

если

Тогда

Заметим, что более рациональное решение этого примера возможно с помощью таблицы эквивалентных бесконечно малых, так как использование формул Маклорена выступает здесь как способ доказательства эквивалентностей.

2) Преобразуя выражение под знаком предела и используя формулу (17.23), получим:

Пример 4. Используя формулу Маклорена, вычислить приближенное значение с точностью 0,001.

Решение. Используем формулу (17.24):

Поскольку знаки чередуются и то достаточно взять три слагаемых.

Получаем