Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Показательно-степенной функцииСтр 1 из 9Следующая ⇒ Дифференциальное исчисление
Дифференцирование функции с переменной В основании степени и в показателе
Производная функции (17.1) где f (x), g (x) – некоторые выражения с переменной x, не может быть вычислена по табличным формулам дифференцирования степенной функции и показательной функции (так как переменная находится как в основании степени, так и в ее показателе). Заданная функция типа (17.1) называется показательно-степенной. Способы вычисления производной показательно-степенной функции Первый способ. Используют метод логарифмического дифференцирования. Для этого: 1) логарифмируют обе части уравнения, которым задается функция (например, по основанию е): получают 2) дифференцируют обе части полученного равенства, где считают сложной функцией от (правую часть равенства дифференцируют как произведение функций): 3) выражают из полученного равенства 4) заменяют y его выражением через x: (17.2) При решении данным методом используют не конечную формулу (17.2), а реализуют процесс логарифмического дифференцирования для каждой функции типа (17.1). Второй способ. На основании свойства логарифмов записывают (17.3) Далее дифференцируют как сложную функцию. С помощью логарифмического дифференцирования удобно также вычислять производные функций при наличии в их аналитическом задании большого количества операций умножения, деления, возведения в степень.
Пример 1. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования. Решение. Функция является показательно-степенной. Прологарифмируем ее по основанию e: . Дифференцируем обе части полученного равенства, учитывая, что y – это функция от x. Используя формулы дифференцирования сложной функции и произведения функций, получаем: Выразим из последнего равенства: Подставим вместо переменной у заданное выражение и приходим к ответу: Пример 2. Вычислить производную показательно-степенной функции используя переход к основанию е. Решение. Используем формулу (17.3): Полученную функцию продифференцируем по правилу вычисления производной сложной функции:
Пример 3. Вычислить значение производной функции в точке 1) 2) Решение. 1) Аналитическое задание данной функции представляет собой выражение, удобное для логарифмирования. Поэтому для нахождения производной этой функции используем метод логарифмического дифференцирования: Обе части полученного равенства дифференцируем по переменной х, где считаем сложной функцией от Заменяя у его выражением через х и окончательно преобразуя выражение в правой части, получим: 2) Прологарифмируем равенство, задающее функцию по основанию е, используя основные свойства логарифмов: Дифференцируем полученное равенство при условии, что y – это функция от x: Выразим далее и заменим переменную y заданным выражением: Подставляя в полученное выражение значение получим:
|