Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Застосування подвійних інтеграліва)обчислення площі плоскої фігури; Площа плоскої області дорівнює . Якщо область визначена нерівностями , то площа дорівнює . Якщо область визначена нерівностями
, то площа дорівнює . Якщо область у полярних координатах визначена нерівностями , то площа дорівнює б) обчислення об’ємів; Об’єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі і яке обмежене знизу областю , що лежить на площині , а зверху поверхнею , яка неперервна в області , знаходиться за формулою . Якщо циліндричне тіло обмежене зверху поверхнею , а знизу поверхнею і проектується на площину в область , то об’єм обчислюється за формулою . в) обчислення площі поверхні; Якщо поверхня, яка задана рівнянням , проектується на площину в область і функції неперервні в цій області, то площу цієї поверхні знаходять за формулою: . Якщо поверхня має рівняння виду , то , де – проекція поверхні на площину . Якщо поверхня має рівняння виду , то , де – проекція поверхні на площину . г) маса плоскої пластини; Нехай на площині пластина займає замкнену область , в кожній точці якої відома густина , розмірність якої . Маса такої пластини визначиться за формулою д) центр маси пластини, статичні моменти: Центр маси пластини обчислюється за формулами , , де , – статичні моменти пластини відносно осей та відповідно. Якщо пластина однорідна, то густина . е) моменти інерції пластини; Моменти інерції пластини та , відносно координатних осей і обчислюється за формулами: , . Момент інерції пластини відносно початку координат . Зауваження: якщо в формулах для обчислення моментів інерції покласти , то одержимо геометричні моменти інерції. Задача 21. Обчислити площу плоскої фігури, обмежену лініями: . Розв’язання: Побудуємо плоску фігуру, обмежену заданими лініями. Знайдемо точки перетину ліній, що обмежують фігуру. Для цього розв’яжемо систему рівнянь: . Дістанемо та . Фігура знаходиться між двома перпендикулярами: та . В цей час змінюється від до . Запишемо подвійний інтеграл через повторний (випадок I):
= (кв.од.) Задача 22. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями та . Розв’язання: Розглянемо восьму частину заданого тіла. Поверхня, яка обмежує її зверху проектується в площину у чверть кола радіуса з центром в точці : Для обчислення об’єму циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі , яке обмежене знизу поверхнею , а зверху – поверхнею застосовують формулу: . В нашому випадку , а . Тоді (куб.од). Маємо (куб.од). Задача 23. Знайти площу частини конуса , що міститься в середині циліндру . Розв’язання: Зробимо рисунок поверхні. Площу поверхні обчислимо за формулою: , де – проекція даної поверхні на площину . Розв’яжемо рівняння конуса відносно :
. Знайдемо частинні похідні по та : Область у площині є круг, обмежений колом Знайдемо підінтегральну функцію: , тому . Так як область інтегрування є круг, то перейдемо у полярну систему координат: . Запишемо рівняння кола у полярних координатах: , .
(кв. од.). Задача 24. Знайти масу матеріальної пластини, що має форму замкненої області , обмеженої лініями: а густина в кожній точці визначається функцією , неперервною в області . Розв’язання: Побудуємо область
Маса такої пластини визначається за формулою: . Маємо .
. Задача 25. Знайти центр маси однорідної пластини, обмеженої кривою та віссю . Розв’язання: Зробимо рисунок пластини. Координати центра маси пластини обчислюється за формулами , , де , , . Так як пластина однорідна, то . В цьому випадку матимемо . Обчислимо інтеграли ;
. Тоді .
|