Подвійний інтеграл

Подвійний інтеграл в декартових координатах записується , де – підінтегральна функція двох змінних та , – область інтегрування.

Основні властивості подвійного інтеграла

а) ;

б) , де const;

в) Якщо область розбита на дві області і , які не мають спільних внутрішніх точок, то

.

Подвійний інтеграл обчислюється за допомогою повторних (двократних) інтегралів.

Якщо область інтегрування обмежена двома прямими та і двома неперервними кривими та , кожна з яких перетинається вертикальною прямою тільки в одній точці, причому , то область

називають правильною в напрямі осі . В цьому випадку справедлива формула (випадок I).

Якщо область інтегрування обмежена двома прямими та і двома неперервними кривими і , кожна з яких перетинається горизонтальною прямою лише в одній точці, причому , то область називають правильною в напрямі осі . В цьому випадку справедлива формула

(випадку II).

У випадку I інтеграл по називають внутрішнім, а по – зовнішнім; у випадку II – навпаки.

Спочатку знаходимо внутрішній інтеграл, враховуючи, що змінна інтегрування зовнішнього інтеграла є сталою, а потім знаходимо зовнішній інтеграл.

Зауваження: 1) межі інтегрування зовнішнього інтегралу завжди сталі, а межі інтегрування внутрішнього інтегралу у загальному випадку є функціями зовнішньої змінної інтегрування; 2) якщо область є більш складною, ніж області у випадках I i II, то її необхідно розбити прямими, перпендикулярними до осі (випадок I) або до осі (випадок II) на такі частини, до яких можна застосувати формули наведені вище. Інтеграл по області буде дорівнювати сумі інтегралів по кожній частині. 3) Якщо область прямокутник, сторони якого паралельні осям координат, то межі інтегрування внутрішнього інтегралу є сталими.

В деяких випадках подвійний інтеграл зручно обчислювати, перейшовши від декартової системи координат до полярної системи координат. Перехід здійснюється за формулами: , , . Маємо

.

Якщо область інтегрування обмежена двома променями і двома кривими і , то подвійний інтеграл обчислюється за формулою:

.

Задача 16. Обчислити подвійний інтеграл по прямокутній області інтегрування : .

Розв’язання:

Задача 17. Записати подвійний інтеграл через повторний, якщо область обмежена лініями: .

Розв’язання: Побудуємо область . Розв’яжемо системи рівнянь . Дістанемо та . Розв’язками системи є координати точок і .

Область – це трикутник . Розіб’ємо її на дві області: (трикутник ) і (трикутник ). Область обмежена лініями:

,

а область обмежена лініями: .

Маємо

Тоді .

Можна записати подвійний інтеграл через повторний по випадку II.

Задача 18. Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі.

Розв’язання: Запишемо рівняння ліній, які обмежують область інтегрування . Для цього прирівняємо кожну змінну інтегрування до її меж інтегрування: . Намалюємо ці лінії.

Змінити порядок інтегрування – означає перейти від повторного інтегралу випадку I до повторного інтегралу випадку II і навпаки. Маємо повторний інтеграл випадку II. Область знаходиться між двома прямими , , перпендикулярними до вісі і двома неперервними лініями , . Щоб перейти до випадку I, необхідно опустити перпендикуляри на вісь з точок перетину ліній, що обмежують область . Таких перпендикулярів буде три: . Вони розіб’ють область на дві частини і , для кожної з яких запишемо повторні інтеграли:

для маємо ;

для маємо .

Тоді: .

Задача 19. Знайти інтеграл , де :

Розв’язання: Побудуємо область . Область – це трикутник . Маємо випадок I, тому що область знаходиться між двома прямими ,перпендикулярними до вісі . Зміну змінної дивимось зліва направо (від лівого перпендикуляра до правого), а зміну змінної – знизу вгору (для цього рівняння лінії, через яку “входимо” в область, розв’язуємо відносно змінної – це нижня межа інтегрування, а рівняння лінії, через яку “виходимо” з області, розв’язуємо відносно змінної – це верхня межа інтегрування). В нашому випадку . Маємо

.

Задача 20. Перейшовши до полярних координат, обчислити подвійний інтеграл , якщо область обмежена колами: .

Розв’язання:

у

Побудуємо область . Для цього запишемо рівняння кіл у канонічному вигляді: . Знайдемо центри і радіуси кіл. У заданому подвійному інтегралі перейдемо до полярної системи координат: . Тоді підінтегральна функція матиме вигляд

. Запишемо рівняння заданих кіл в полярних координатах:

;

.

Якщо кут змінюватиметься на відрізку , то змінна змінюватиметься від до . Тоді подвійний інтеграл запишемо у полярних координатах і обчислимо його через повторний інтеграл: