Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Вказівки до виконання контрольної роботи ( РГР )1.1.1 Невизначений інтеграл. Функція називається первісною для функції на проміжку , якщо диференційована на і справджується рівність для усіх . Існує множина первісних для функції , які відрізняються тільки сталою: . Цю множину первісних називають невизначеним інтегралом функції і записують , де – підінтегральна функція. Властивості невизначеного інтеграла а) б) в) г) , де const д) е) Таблиця невизначених інтегралів
Зауваження: таблицею інтегралів можна користуватись у випадку, коли аргумент підінтегральної функції і вираз під знаком диференціала однакові. Методи інтегрування а) метод безпосереднього інтегрування. Обчислення інтегралів за допомогою властивостей невизначеного інтеграла та таблиці невизначених інтегралів. Треба пам’ятати, що , де . Задача 1. Знайти інтеграли 1) ; 2) . Можемо застосувати формулу 2б, де , і врахуємо лінійність аргументу u. За властивістю е) коефіцієнт лінійності дорівнює 3. Матимемо: ; 3) . Аналогічно прикладу 2), коефіцієнт лінійності дорівнює 7. Застосовуємо формулу 4а. Матимемо: ; 4) . При знаходженні інтеграла врахували, що і б) метод заміни змінної (метод підстановки). Згідно цього метода вводять нову змінну інтегрування. Нехай – первісна функції на проміжку . Функція визначена та диференційована на проміжку і . Тоді справедлива формула . Зручним є і такий запис: Підстановку підбирають так, щоб мати після перетворення табличний інтеграл. Задача 2. Знайти інтеграли 1) Так як , то зробимо заміну змінної . Матимемо: . Перевіримо отриманий результат: . 2) = . 3) в) метод інтегрування частинами. Формула інтегрування частинами має вигляд: . До інтегралів, які обчислюються методом інтегрування частинами відносяться: 1) , , , , де – многочлен -го степеня, – дійсне число. В цих інтегралах через позначаємо , а через – один з виразів 2) , , , , , , де – многочлен -го степеня ( може дорівнювати нулю), – дійсні числа. В цих інтегралах через позначаємо один з виразів , , , , , , а через – . Існують інші типи інтегралів для знаходження яких застосовують метод інтегрування частинами. Зауваження. При застосуванні метода інтегрування частинами треба підінтегральний вираз розбити на два множники: u і , а саме: 1) треба віднести до ; 2) повинен бути таким, щоб інтегруванням легко знайти ; 3) Інколи доводиться формулу інтегрування частинами застосовувати декілька разів. Задача 3. Знайти інтеграли 1) ; 2) 3) Розв’яжемо отримане рівняння відносно шуканого інтеграла г) інтегрування квадратних тричленів. До цих інтегралів відносяться: 1) , 2) , 3) , 4) . Для інтегралів 1), 2) типів необхідно виділити повний квадрат у квадратному тричлені: . Заміна приводить інтеграл до табличного: для інтеграла 1) типу маємо табличний інтеграл 13 або 14, для інтеграла 2) типу маємо табличний інтеграл 15 або 16. Для інтегралів 3), 4) типів необхідно у чисельнику виділити похідну квадратного тричлена, який знаходиться у знаменнику, і чисельник почленно поділити на знаменник. Отримаємо два інтеграли, перший з яких знаходимо по таблиці інтегралів за формулою 17 (для інтеграла 3) типу) або 18 (для інтеграла 4) типу). Другий інтеграл є інтегралом 1) або 2) типу. Задача 4. Знайти інтеграл д) інтегрування дробово-раціональних функцій. До цих функцій відносяться дроби . Якщо , то дріб є неправильний. Треба виділити цілу частину, поділивши чисельник на знаменник: , де – частка (ціла частина), – правильний дріб (степінь многочлена менший за ). Далі, якщо правильний дріб не є простий, необхідно знаменник розкласти на множники (множниками можуть бути многочлени виду: , з дискримінантом квадратного тричлена меншим нуля), потім правильний дріб – на прості дроби. Простих дробів буде стільки, скільки множників у знаменнику, враховуючи кратність кожного. У чисельниках простих дробів записують многочлени в загальному вигляді, не враховуючи кратність многочленів у знаменнику. Коефіцієнти чисельників знаходимо методом невизначених коефіцієнтів або комбінованим методом. При інтегруванні правильних простих дробів можемо мати такі інтеграли: ; ; ; – розглянуті в інтегруванні квадратних тричленів; , де . При цьому многочлен немає дійсних коренів, тобто ; можна знайти використовуючи рекурентну формулу: Задача 5. Знайти інтеграли 1)
; 2)
= +
е) інтегрування тригонометричних функцій. Інтеграли виду за допомогою універсальної підстановки приводяться до інтегралів від раціональних дробів. В деяких випадках застосовують інші підстановки, які спрощують знаходження інтегралів. Розглянемо ці випадки. 1) у випадку коли функція непарна відносно : , робимо заміну , а коли вона непарна відносно : , то робимо заміну . 2) якщо функція парна відносно і : , то робимо заміну 3) знаходиться підстановкою , якщо – ціле додатне непарне число, а – ціле додатне парне число, або підстановкою , якщо – ціле додатне непарне число, а – ціле додатне парне число. У випадку, коли і – цілі додатні парні числа, застосовують формули зниження степеня , та . Якщо і – цілі парні числа, але хоч одне з них від’ємне, або і – цілі непарні і від’ємні числа, то застосовують підстановку . 4) за допомогою формул: ; ; зводяться до табличних. Задача 6. Знайти інтеграли. 1) 2) 3) 4) =
є) інтегрування ірраціональних виразів. Розглянемо деякі з них. 1) , де , – цілі додатні числа. Робимо заміну , де є спільним знаменником дробів . Ця заміна приводить до інтегралу від раціональної функції аргументу . 2) , де , – цілі додатні числа, , , , – дійсні числа. Заміна: , де є спільним знаменником дробів . Ця заміна приводить до інтегралу від раціональної функції аргументу . 3) В інтегралах, що мають вирази: 3а) , 3б) 3в) можна робити наступні заміни змінної: 3а) 3б) 3в) Задача 7. Знайти інтеграл. 1.1.2 Визначений інтеграл. Визначений інтеграл де функція неперервна на відрізку інтегрування , – нижня межа інтегрування, – верхня межа інтегрування, обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца: , де є первісною для підінтегральної функції . Властивості визначеного інтеграла а) б) в) г) , д) , де const е) є) якщо відрізок інтегрування симетричний: , то для парної підінтегральної функції , для непарної функції . Для знаходження первісної при обчисленні визначеного інтеграла можна застосувати табличні інтеграли та методи інтегрування для обчислення невизначених інтегралів. Розглянемо деякі з них. а) заміна змінної під знаком визначеного інтеграла. Якщо функції і задовольняють умовам: функція неперервна на ; функція має неперервну похідну на ; складена функція визначена і неперервна на , то . б) формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі . Задача 8. Знайти інтеграли. 1) ; 2) ; 3)
|