Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Основні властивості криволінійного інтеграла першого родуа) криволінійний інтеграл першого роду не залежить від напрямку шляху інтегрування: ; б) ; в) , де k = const; г) якщо крива , то ; Криволінійний інтеграл першого роду при обчисленні зводяться до визначеного інтегралу: а) якщо крива задана рівнянням , то ; б) якщо крива задана параметричним рівнянням , , то ; в) у випадку просторової кривої, яка має рівняння матимемо ; Криволінійний інтеграл першого роду застосовують для знаходження: а) обчислення довжини кривої здійснюється за формулою: ; б) якщо циліндрична поверхня, твірні якої паралельні осі , опирається на криву в площині , а зверху обмежена поверхнею , то площа такої циліндричної поверхні обчислюється за формулою: ; в) маса матеріальної кривої обчислюється за формулою: , де – лінійна густина; г) координати центра маси кривої знаходяться за формулами: , де – статичні моменти кривої відносно осей і . У випадку, коли розглядається однорідна матеріальна крива, слід покласти ; д) моменти інерції кривої відносно осей і початку координат обчислюються за формулами: Задача 27. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду , де – частина кола , розміщена в першій чверті . Розв’язання: Запишемо рівняння кола у вигляді , . Знайдемо : , . Тоді . Криволінійний інтеграл другого роду (по координатах) це , де функції , визначені і обмежені на кривій . Основні властивості криволінійного інтеграла другого роду: а) криволінійний інтеграл другого роду змінює свій знак на протилежний при зміні напрямку шляху інтегрування ; б) ; Інші властивості аналогічні властивостям інтеграла першого роду. Криволінійний інтеграл другого роду при обчисленні зводяться до визначеного інтегралу: а) якщо крива задана рівнянням , то ; б) якщо крива задана параметричним рівнянням , , то ; в) криволінійний інтеграл другого роду залежить від шляху інтегрування: ; Якщо , то значення інтеграла не залежить від форми кривої , яка сполучає точки та і , а вираз – повний диференціал функції , яку можна відновити використовуючи формули:
або , де довільна фіксована точка, в якій визначені функції , . Якщо – замкнений контур, який обмежує область і функції і неперервні, разом із своїми частинними похідними 1-го порядку: і в замкненій області включаючи межу , то справедлива формула Гріна: де обхід контуру вибирається таким, щоб область залишалась зліва. Криволінійний інтеграл другого роду застосовують для знаходження: а) площі плоскої фігури , обмеженої кривою , за формулою: ; б) роботи сили при переміщенні матеріальної точки вздовж кривої : . Задача 28. Обчислити криволінійний інтеграл другого роду , де – замкнений контур, утворений лініями . Розв’язання: Для замкненого контуру існує лише два напрями обходу: проти стрілки годинника (додатна орієнтація контуру) та за стрілкою годинника (від¢ємна орієнтація контуру). При додатній орієнтації контуру він завжди залишається зліва при його обході. Маємо: 1) рівняння : , тоді ; 2) рівняння : , змінюється від 1 до 0, тоді ; 3) рівняння : , змінюється від 1 до 0, тоді ; Тоді Задача 29. Впевнитись, що вираз є повним диференціалом деякої функції і знайти цю функцію. Розв’язання: З даного виразу випливає , . Знайдемо частинні похідні , . , . Оскільки , то вираз дійсно є повним диференціалом деякої функції . Знайдемо цю функцію за допомогою формули . В якості точки можна взяти точку : , . Тоді .
|