Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона

Если вероятность наступления случайного события в каждом испытании равна p, то вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит k раз, находится по формуле Бернулли:

, где .

Закон распределения случайной величины X, которая может принимать n+1 значение (0, 1, …, n), описываемый формулой Бернулли, называется биномиальным.

Закон распределения случайной величины X, которая может принимать любые целые неотрицательные значения (0, 1, …, n), описываемый формулой

, где

носит название закона Пуассона, дающего более точное значение при малых p.

10. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений значений случайной величины на вероятности этих значений:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X определяется равенством (при условии, что значение этого интеграла конечно).

11. Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Легко получить для вычисления дисперсии более удобную формулу:

Дисперсия случайной величины есть мера рассеяния ее значений около ее математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется величина .

12. Свойства математического ожидания случайной величины:

1. , где ;

2. , где ;

3. , где X и Y – независимые случайные величины;

4. .

13. Свойства дисперсии случайной величины:

1. , где ;

2. , где ;

3. , где X и Y – независимые случайные величины.

Пример 1. Среди 30 курсантов взвода 8 отличников. Для внеочередного дежурства назначено 5 курсантов. Найти вероятность того, что среди дежурных отличников будет нечетное число.

Решение. Введем обозначения: , , , . Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно назначить m курсантов из N курсантов, т.е. – числу сочетания из N элементов по m.

Посчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди m курсантов ровно k отличников): k отличников можно выбрать из n отличников способами, при этом остальные курсантов выбираются из курсантов способами, . Следовательно, число благоприятствующих исходов равно . События, состоящие в том, что число отличников среди выбранных пяти курсантов 1, 3 или 5, являются несовместными. По теореме сложения вероятностей для несовместных событий получаем:

,

, , ,

, т.к. , то ,

, .

.

Пример 2. Для сигнализации об аварии на некотором объекте установлены сигнализаторы 5 типов: А, Б, В, Г, Д, каждый из которых сработает в случае аварии соответственно с вероятностями 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; 0,5. Найти вероятность того, что в случае аварии сработают сигнализаторы только типов Г и Д.

Решение. Имеем пять сигнализаторов А, Б, В, Г, Д. Вероятности того, что сигнализаторы сработают в случае аварии соответственно равны p₁, p₂, p₃, p₄, p₅ (p₁= 0,9, p₂= 0,8, p₃= 0,7, p₄ =0,6, p₅ =0,5).

Обозначим через А₁, А₂, А₃, А₄, А₅ события, состоящие в том, что сработают соответственно сигнализаторы А, Б, В, Г, Д, при этом , , , , – противоположные им события. Вероятности противоположных событий , , , , соответственно. Требуется найти вероятность события .

По теореме умножения вероятностей для независимых событий получаем:

,

.

Пример 3. Перед возгоранием в здании могло находиться 10 человек. Все первоначальные гипотезы Н_i, состоящие в том, что в здании было i человек (i =0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) равновероятны. В первые же минуты после пожара был спасен один человек. Переоценить вероятность гипотезы Н_i, где i = 10.

Решение. Для решения задачи используем формулу Байеса.

Пусть A – событие, состоящее в том, что спасен один человек в первые же минуты после пожара. Рассмотрим гипотезы:

H₀ – в помещении не было людей,

H₁ – в помещении был один человек,

H₂ – в помещении было два человека,

…………………………………………

H_k – в помещении было k человек (k = 0, 1, 2,…, 10).

Так как гипотезы равновероятны, то

.

Подсчитаем условные вероятности события A, соответствующие гипотезам:

, , ,…, ,

(k = 1, 2,…, 10).

Требуется найти по формуле Байеса

,

где .

Имеем

,

.

Пример 4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 2/3. Найти вероятность того, что при 6 выстрелах будет четное число попаданий.

Решение. Имеем , , . Используем формулу Бернулли:

,

так как независимые испытания проводятся в одинаковых условиях. Здесь k = 0, 2, 4, 6.

События, состоящие в том, что при шести выстрелах число попаданий 0, 2, 4 или 6, являются несовместными. По теореме сложения вероятностей для несовместных событий получаем:

.

Пример 5. Случайные величины X и Y независимо друг от друга могут с равной вероятностью принимать лишь одно из трех значений 1, 2, 3. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины Z и вероятность того, что случайная величина Z отклонится по абсолютной величине от своего математического ожидания не более, чем на среднее квадратическое отклонение, где .

Решение. Составим ряды распределения случайных величин X, Y, Z, где .

X

xi       pi

Y

yi       pi

Z
Z	zi       pi

Подсчитаем числовые характеристики X, Y и Z.

.

Математические ожидания X, Y и Z:

,

, .

Дисперсии X, Y и Z:

,

.

Так как X и Y независимые случайные величины, то

.

Для проверки подсчитаем D_z вторым способом:

,

при этом среднее квадратическое отклонение .

Требуется найти .

Получим

Пример 6. Для некоторого города в течении месяца (30 суток) в среднем поступает 120 сигналов о возгорании. Найти вероятность того, что в течение суток число сигналов о возгорании окажется по крайней мере один.

Решение. Имеем распределение Пуассона. Математическое ожидание a числа сигналов о возгорании в течение суток .

Пусть m – число сигналов о возгорании в течение суток. Требуется найти .

Воспользуемся формулой Пуассона:

.

Получим

Пример 7. Случайная величина X принимает значения лишь в интервале (0;1) с плотностью вероятности вида . Найти значение параметра а, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность того, что случайная величина X не превзойдет своего среднего значения, если .

Решение. .

По свойству плотности ,

откуда , , .

Найдем числовые характеристики:

, , .

,

, .

Вероятность того, что случайная величина X не превзойдет своего среднего значения:

.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шипачев В.С. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 2001. – 480 с.

2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. - М.: Высшая школа, 2000. – 304 с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учеб. пособие для вузов. - М.: Изд. дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003. - Ч. I. – 304 с.; Ч. II. – 416 c.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. - М.: Рольф, 2001. - Ч. I. - 288 с.; Ч. II. - 256 c.

5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, 2001. – 576 с.

6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. - М.: Высшая школа, 2000. – 368 с.

7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2001. – 480 с.

8. Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 2001. – 400 с.

Родионов Евгений Григорьевич

Старостина Елена Вадимовна

Фомичёв Дмитрий Сергеевич