Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Основные теоретические сведения. 1. Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство или , то точка называется точкой экстремума функции (соответственно точкой максимума или1. Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство или , то точка называется точкой экстремума функции (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если - экстремальная точка функции , то первая производная либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: является экстремальной точкой функции , если ее первая производная меняет знак при переходе через точку : с плюса на минус – при максимуме, с минуса на плюс - при минимуме. 2. Точка называется точкой перегиба кривой , если при переходе через точку меняется направление выпуклости. Необходимое условие точки перегиба: если - точка перегиба кривой , то вторая производная либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба: является точкой перегиба кривой , если при переходе через точку вторая производная меняет знак. 3. Прямая называется наклонной асимптотой кривой , если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при . (1) При имеем горизонтальную асимптоту: Если или (2) то прямая называется вертикальной асимптотой. 4. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Изучение заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить по следующей схеме: 10. Найти область определения и точки разрыва; вычислить значения функции (или соответствующих пределов) в граничных точках области определения. 20. Исследовать вопрос о четности или нечетности, периодичности функции. 30. Определить нули функции и интервалы ее знакопостоянства. 40. Найти асимптоты. 50. Определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями. 60. Исследовать функцию на экстремум, определить интервалы ее монотонности. 70. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. 80. Построить график, учитывая исследование, проведенное в п.п.10-70. Отметим, что эта далеко не полная схема позволяет тем не менее успешно строить графики подавляющего большинства функций, встречающихся на практике. 5. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется выражение вида , если . Функция F(x) называется первообразной для заданной функции f(x). При интегрировании наиболее часто используются ниже перечисленные методы. 1) Если , то ; , (3) где a и b – некоторые постоянные. 2) Подведение под знак дифференциала: (4) так как 3) Формула интегрирования по частям: (5) Обычно выражение dv выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало особых затруднений. За u, как правило, принимается такая функция, дифференцирование которой приводит к ее упрощению. К классам функций, интегрируемых по частям, относятся, в частности, функции вида , , где P(x) – многочлен от x. 4) Интегрирование рациональных дробей, т.е. отношений двух многочленов и (соответственно k -й и n -й степени): , сводится к разложению подынтегральной функции R(x) на элементарные, всегда интегрируемые дроби вида (6) где l и m – целые положительные числа, а трехчлен x2+px+q не имеет действительных корней. При этом в случае неправильной дроби () должна быть предварительно выделена целая часть. 5) Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки) является одним из эффективных приемов интегрирования. Его сущность состоит в переходе от переменной x к переменной . Наиболее целесообразная для данного интеграла замена переменной, т.е. выбор функции j(t), не всегда очевидна. Однако для некоторых часто встречающихся классов функций можно указать такие стандартные постановки: где R – символ рациональной функции. 6. Формула Ньютона – Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид (7) если и первообразная F(x) непрерывна на отрезке . Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и частью графика функции y=f(x), взятой со знаком плюс, если f(x) 0, и со знаком минус, если f(x) 0. 7. Если интервал интегрирования не ограничен (например, ) или функция f(x) не ограничена в окрестности одного из пределов интегрирования (например, при ), то по определению полагают , (8) и (9) Интегралы в левых частях равенств (8) и (9) называются несобственными интегралами. Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенств (8) и (9). Если же предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся. 8. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми , , и частью графика кривой , вращается вокруг оси Оx. Тогда объем полученного при этом тела вращения вычисляется по формуле (10)
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию Решение: Находим первую производную: . Из уравнений и получаем точки, «подозрительные» на экстремум: , , . Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака :
В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками , , , и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной в интервалах монотонности. В третьей строке приведено заключение о поведении функции. Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке : (-3) . Точки и не являются точками экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак. Пример 2. Найти асимптоты графика функции . Решение: Точка является точкой разрыва функции. Так как , то прямая служит вертикальной асимптотой графика функции [см. формулы (2)]. Ищем наклонные асимптоты , используя формулы (1):
Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид . Пример 3. Построить график функции , используя общую схему исследования функции. Решение: 10. Область определения – вся числовая ось, кроме точки , в которой функция терпит разрыв. Находим предельные значения функции:
20. Функция общего вида, непериодическая. 30. Функция имеет один нуль в точке . Функция положительна при и отрицательна при . 40. График функции имеет одну вертикальную асимптоту и одну наклонную асимптоту (см. пример 2). 50. График функции пересекает координатные оси в точке (0;0). 60. Функция имеет один минимум при . На интервалах (- ; -3)È(-1; 0)È(0; + ) функция монотонно убывает, на интервале (-3; -1) – монотонно возрастает (см. пример 1). 70. Вторая производная обращается в бесконечность при и равна нулю в точке , которая является единственной точкой перегиба (см. таблицу):
На интервалах (- ; -1)È(-1; 0) функция выпукла вниз (вогнута), на интервале (0; + ) – выпукла вверх. Ордината точки перегиба . 80. Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис.10).
Рис.10
Пример 4. Найти . Решение. Так как , то, используя формулы (3), получим Проверка: Пример 5. Найти Решение. Так как , то по формуле (4) находим Пример 6. Найти Решение. Применим метод интегрирования по частям. Положим , , тогда , . Используя формулу (5), имеем Пример 7. Найти Решение. Подынтегральная рациональная дробь является правильной и разлагается на элементарные дроби вида (6): Освобождаясь от знаменателей в обеих частях этого равенства и приравнивая числители, получаем тождество для вычисления неопределенных коэффициентов А, В и С: Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение получим, полагая x=2 (корень знаменателя подынтегральной функции). Два других получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества, например при х2 и х0: Решение этой системы дает: А=2, В=-3, С=1. Таким образом, . Пример 8. Вычислить определенный интеграл . Решение. Применим метод замены переменной; положим , откуда . Найдем пределы интегрирования по переменной t: при x= 4 имеем t= 2, а при x= 9 имеем t= 3. Переходя в исходном интеграле к новой переменной t и применяя формулу Ньютона – Лейбница (7), получаем Пример 9. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: 1) Решение. 1) Первый интеграл является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования. Согласно определению (8), имеем Следовательно, данный интеграл расходится. 2) Второй интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции; терпит бесконечный разрыв в нижнем пределе при x= 0. Согласно определению (9), получаем т.е. этот несобственный интеграл сходится. Пример 10. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми , , , (рис.11). Решение. Пример 11. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси О х кривой
Решение. Объем полученного тела вращения найдем по формуле (10):
|