Рiвняння Мещерського

Розглянемо матерiальну систему, обмежену поверхнею S. Маса в поверхнi S змiнюється за заданим законом m = m (t), тобто задана функцiєю часу (рис. 13.1).

(13.15)

Позначимо абсолютну швидкість центра мас всередині поверхні S в момент через . Нехай – абсолютна швидкість викинутих частинок з масою . В цих позначеннях рівняння (13.12) перепишемо так:

Нехтуючи величиною dm×d , одержимо:

звiдси

(13.16)

Величина є по вiдношенню до рухомої точки вiдносною швидкiстю викинутих частинок. Тодi

(13.17)

Величина

називається реактивною силою.

Рiвняння (13.17) називають рiвнянням Мещерського.

Якщо вiдносна швидкiсть = 0, то = 0 i рiвняння (13.17) приймає вигляд:

це другий закон Ньютона.

Якщо абсолютна швидкiсть викинутих частинок = 0, то з (13.16) одержимо:

що по формi також спiвпадає з другим законом Ньютона.

13. 5. Задачi Цiолковського.

Перша задача. Визначити швидкiсть v руху ракети, якщо вiдносна швидкiсть v_r витiкання газiв постiйна за модулем i направлена в бік, протилежний руховi ракети. Ракета з безперервним витiканням газiв летить вертикально вгору. Опором повiтря i силою ваги нехтуємо.

Розглядаємо ракету як точку змiнної маси i запишемо рiвняння Мещерського для випадку :

Роздiлимо змiннi

проiнтегруємо

де v ₀ - початкова швидкiсть ракети; m ₀ - початкова маса ракети.