Сложные суждщия

Наш разговор о суждениях завершим рассмотрением слож­ных суждений.

Def 2.4.I. Сложным называют суждение, состоящее из двух более простых суждений, соединенных с помощью логических союзов.

Сложные суждения можно понимать по аналогии со слож­ными предложениями: мы объединяем простые предложения в сложные с помощью грамматических союзов.

1 Следует отметить, что логические союзы нельзя, однако, отождествлять с союзами грамматическими. Логические со­юзы - это своеобразные функции, которые определяют значе­ние сложного предложения в зависимости от значения простых предложений, его составляющих.

Можно было бы построить много функций, представляющих логические союзы, но мы ограничимся указанием тех из них, которые наиболее часто используются в логике. Для их пред­ставления воспользуемся таблицами.

Пусть А и В - произвольные суждения.

Начнем с союза, который будем обозначать так: <-i»¹⁸. Он на­зывается «отрицание*. Запись «-Л» читается «неверно, что А»

¹⁸ Обозначения логических союзов, используемые нами, не имеют универ­сального характера. Вполне возможно, что в других изданиях читатель встре­тит иные символы. Выбор их часто зависит от привычек автора и возможно­стей типографии. Мы приводим те обозначения логических союзов, которые встречаются чаще всего.

или «не-А». Логический смысл этого союза заключается в том, что он переводит всякое истинное суждение в ложное, а всякое ложное - в истинное.

Следующий логический союз «&» - конъюнкция. В естествен­ном языке ему чаще всего соответствует грамматический союз «и». Запись «А&В» читается как «А и В». Логический смысл конъюнкции определяется следующим образом:

Как видно из таблицы, конъюнкция считается истинной толь­ко в том случае, когда истинны оба члена конъюнкции.

Exmpl 2.4.1. Примером конъюнкции может служить сужде­ние «Лиса хищное животное, и медведь больше лисы».

Заметим также, что конъюнкции в естественном языке соот­ветствует не только союз «и». Она может быть выражена с по­мощью других союзов.

Exmpl2.4.2. «Лондон - столица Великобритании, а Мадрид -

столица Испании».

Символом «v» мы обозначаем логический союз, называемый ^дизъюнкцией* или «простой дизъюнкцией». Запись «AvB» чи­тается, как «А или В». Таким образом, логической дизъюнкции соответствует грамматический союз «или». Важно, что здесь «или» не носит исключающего характера, как это часто бывает в естественном языке. Указанная особенность находит свое от­ражение в таблице для дизъюнкции:

Exmpl 2.4.3. Примером дизъюнкции может служить следу­ющее предложение: «Здесь близко река или здесь близко озе­ро». По-видимому, чтобы мы посчитали это предложение ис-

тинным, достаточно обнаружить хотя бы один из указанных водоемов; но если их окажется два (и река, и озеро), то вряд ли мы сочтем себя обманутыми. Именно такой смысл имеет дизъ­юнкция.

Для логического союза, именуемого импликацией, выберем символ «=>». Выражение «АэВ» будем читать «если А, то В»¹⁹. Смысл импликации определяется следующим образом:

тогда, когда его стороны равны» или «Число делится на 10, если и только если оно делится на 5 и на 2»²¹.

Наконец, последний логический союз, с которым мы позна­комимся, называется «строгая дизъюнкция*. В отличие от ра­нее рассмотренной дизъюнкции, этот логический союз исполь­зуется для выражения несовместимости двух суждений. Это отражается в таблице следующим образом:

I Важно помнить, что речевой оборот «если..., то...» в логике не обязательно отражает причинно-следственную связь. Луч­ше понимать его как «если [условие], то [следствие]».

Exm.pl2.4.4. Примером такого употребления союза «если, то» является суждение:«Если книга имеется в магазине, то она име­ется и в библиотеке». Действительно, книгу можно обнаружить в библиотеке не по причине наличия ее в магазине, но при этом условии.

! Обращаем внимание на то, что две последние строки табли­цы для импликации представляют известное логическое пра­вило: «Из ложного суждения следует какое угодно суждение».

Следующий логический союз называется «эквиваленция». Для него мы выбрали обозначение «н». Этому логическому со­юзу в естественном языке соответствует речевой оборот «...тог­да и только тогда, когда...». Поэтому запись «А=В» договоримся читать «А тогда и только тогда, когда В»²⁰. Эквиваленция опре­делена следующей таблицей:

Exmpl 2.4.5. Примерами эквиваленции могут служить такие суждения: «Прямоугольник является квадратом тогда и только

¹⁹ Иногда читают «В тогда, когда А*.

²⁰ Иногда употребляются и другие прочтения эквиваленции: «А, если и
только если В» или «В необходимое и достаточное условие А».

Запись «А*В» условимся читать «либо А, либо В, но не то и другое вместе».

Exmpl 2.4.6. Примером строгой дизъюнкции может служить суждение: «Либо эта шахматная фигура является белой, либо эта шахматная фигура является черной».

УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 2.4

(^Определите, какие из представленных ниже суждений явля­ются конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией или жвиваленцией.

1. Если ваши книги не согласны с Кораном, то их следует уничтожить.

2. Хоббиты любят сидеть,дома и пить чай.

3. Меня укусил комар или овод.

4. Два множества равны, если и только.если их элементы пол­ностью совпадают.

5. Если идет дождь, то дорога мокрая.

6. Лондон - столица Англии, а Париж - столица Франции.

7. Всякое число либо четное, либо нечетное.

8. Треугольник является равносторонним тогда и только тог­да, когда все его углы равны.

9. Если мистер Джонс счастлив, то миссис Джонс несчастлива.

10. Я сегодня пойду на свидание или пить пиво.

11. Этот треугольник прямоугольный и равнобедренный.

12. Взятку платят тогда и только тогда, когда товар доставлен.

13. Тунис находится в Африке, а Япония - в Азии.

³¹ Обратите внимание, в последнем случае вторая часть эквиваленции -это конъюнкция двух высказываний.

14. Шахматные фигуры бывают либо черные, либо белые.

15. Если протереть нож керосином, то это уничтожит запах селедки.

16. Хвастун счастлив тогда и только тогда, когда есть довер­чивый слушатель.

17. Когда б на то не божья воля, не отдали б Москвы.

18. Если сегодня 31 декабря, то завтра 1 января.

19. Либо я возьму зонт, либо надену плащ.

20. Если дует сильный ветер, то в лесу слышен шум листвы.

И. Укажите все логические союзы, которые встречаются в при­водимых ниже сложных суждениях. Для этого установите, какие языковые конструкции представляют простые суждения, после чего проанализируйте, с помощью каких логических союзов и в какой последовательности образовано итоговое сложное суждение.

1. Если К. был преступником, то он в указанную ночь дол­жен был быть в замке или в прилегающем к нему парке. Кроме того, К. в этом случае должен был быть отличным стрелком*.

2. Необходимое и достаточное условие счастья шейха состоит в том, чтобы иметь вино, женщин и услаждать свой слух пением*.

3. Если женщина согласна с мнением мужчины, значит он прав, а если женщина не согласна с мнением мужчины, значит он - ее муж.

4, Нам предстоит сложный выбор: отступить - и остаться жи­выми, но при этом прослыть трусами, или броситься вперед на значительно превосходящего по своим силам врага - тогда, на­верняка,^ погибнуть. Или же, наконец, остаться в башне, что даст немалый выигрыш во времени, не принесет бесчестия и даст шанс на спасение.

5, Этот четырехугольник не может быть ни ромбом, ни квад­ратом, ни даже параллелограммом, так как его две противопо­ложные стороны не являются параллельными друг другу.

6. Если ты сможешь доказать свои добрые намерения, то я
поверю тебе, или же мне придется вызвать полицию и обвинить
тебя в лжесвидетельстве.

7, Мы никогда не будем умны чужим умом и славны чужой славою (Карамзин).

8, Либо ты выполнишь приказ, либо будешь осужден воен­но-полевым судом и тебя отправят в штрафбат или даже приго­ворят к расстрелу.

9'. Мы спасемся лишь в том случае, если не будет сильного шторма, и если нас обнаружат не позднее, чем через десять суток.

10. Был сильный мороз и к тому же дул пронизывающий ве­тер, поэтому очень быстро многие потеряли силы, а некоторые обморозились, но все продолжали движение.