Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Если функция y=f(x) представима при x→a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то . Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Основные свойства бесконечно малых функций:

1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция. Из этого вытекает:1. Если и , то . 2. Если и c= const, то .

3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке а (или просто бесконечно большой), если для любой сходящейся к а последовательности {хn} значений аргумента соответствующая последовательность {f(xn)} зна­чений функции является бесконечно большой.

В этом случае пишут f(x) = ( f(x) = + или f(x) = - ) и говорят, что функция имеет в точке а бесконечный предел (+ или - ).

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ:

1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1 /f(x) является бесконечно малой при x→a.

2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y= 1 /f(x) является бесконечно большой функцией.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0

.