Гиперболический

Рассечем поверхность плоскостями z=h. Получим кривую которая при всех h≠0 является гиперболой. При h>0 ее действительные оси параллельны оси Ox, при h<0 – параллельные оси Oy. При h=0 линия пересечения распадается на пару пересекающихся прямых:

При пересечении поверхности плоскостями, параллельности плоскости Oxz (y=h), будут получаться параболы, ветви которых направлены вверх.

Основные понятия теории множеств. Отображение множеств.

Множество - это совокупность определённых вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое. Для обозначения конкретных множеств используются заглавные буквы с индексом или без (A, X1, Х2), элементы множеств обозначаются строчными буквами (а, х1, х2). Принадлежность элемента множеству обозначается символом ∈. Множества бывают конечными и бесконечными. Конечные множества – множества, в которых число элементов конечно. Бесконечные множества – бесконечное число элементов.

Множества задаются двумя способами: перечислением и описанием. Задание перечислением – перечисление всех элементов, составляющих множество. Описательный способ задания множества состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества.

Элементы множества – отдельные объекты, из которых состоит множество. Считают, что множество задано своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать: принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Отношение между элементами множеств Х и Y называется отображением Х в Y, если каждому элементу х из множества Х соответствует только один элемент множества Y. Этот элемент называют образом элемента х при данном отображении: f(x). На графе такого отображения из каждой точки множества Х будет выходить только одна стрелка. Рассмотрим следующий пример. Пусть Х – множество студентов в аудитории, а Y – множество стульев в той же аудитории. Соответствие «студент х сидит на стуле у» задает отображение Х в Y. Образом студента х является стул.

Если отображение Х в Y таково, что каждый элемент y из множества Y соответствует одному или нескольким элементам х из множества Х, то такое отображение называют отображением множества Х на множество Y. Множество Х называют областью определения отображения f: X Y, а множество Y – областью прибытия этого отображения. Часть области прибытия, состоящая из всех образов y из множества Y, называется множеством значений отображения f. Если y=f(x), то х называют прообразом элемента у при отображении f. Множество всех прообразов элемента у называют его полным прообразом: f (y).

Отображения бывают следующих видов: инъективными, сюръективными и биективными.

Если полный прообраз каждого элемента y Y содержит не более одного элемента (может быть и пустым), то такие отображения называют инъективными.

Отображения X Y такие, что f(X)=Y, называют отображениями Х на все множество Y или сюръективными (из каждой точки множества Х выходит стрелка, а после изменения направления в каждой точке множества Х заканчивается).

Если отображение инъективно и сюръективно, то его называют взаимно однозначным или биективным.

Отображение множества Х на множество называется биективным, если каждому элементу х Х соответствует единственный элемент y Y, а каждый элемент y Y соответствует только одному элементу х Х. Биективные отображения порождают равномощные (эквивалентные) множества: X~Y.

Основные понятия математической логики.

Математическая логика - современный вид формальной логики, изучающей различные умозаключения.

К основным понятиям математической логики относятся: · логические символы - объекты с двумя возможными состояниями. Их обозначают символами: 0 и 1, или буквами: Л (ложно) и И (истинно).

· логические операции. В логике используются логические операции: «и», «или», «не», «если …то…».

Результаты логических операций определяются таблицей истинности. Таблица истинности – это таблица, в которой определены значения высказывания после выполнения определенных логических операций.

Рассмотрим основные логические операции.

Отрицание. Имея суждение А, можно образовать новое суждение, которое читается как «не А». Обозначают отрицание: .

Например, пусть суждение А = «Я сдал зачет», тогда отрицанием будет: = «Я не сдал зачет».

А

Конъюнкция. Конъюнкция двух высказываний А и В соответствует союзу «и». Она обозначается символом «». Связка «и» в составных суждениях всегда предполагает одновременную истинность составляющих суждений.

Операция конъюнкции определяется таблицей истинности

А

В

Дизъюнкция. Дизъюнкция двух суждений А и В соответствует союзу «или» и обозначается символом «». Запись А В может быть прочитана «А или В».

Операция дизъюнкции определяется таблицей истинности

А

В

Конъюнкцию иногда называют «логическое и», дизъюнкцию – логическое или».

Следует подчеркнуть соответствие рассматриваемых логических операций и операций над множествами:

- конъюнкция – пересечение множеств; - дизъюнкция – объединение множеств.

Логические операции имеют следующий приоритет выполнения: 1. Отрицание. 2. Конъюнкция.

3. Дизъюнкция.

Кроме того, порядок выполнения логических операций можно изменить с помощью скобок.