Связь между длительностью импульса и шириной спектра

Обратим внимание на то, что во всех рассмотренных примерах ширина спектра , обратно пропорциональна длительности импульса , т.е.

Указанная закономерность имеет общий характер и выражает одно из основных свойств преобразования Фурье. Нетрудно обосновать это соотношение, исходя из формулы (2.29) для спектральной амплитуды. На рис. 2.5 изображены график функции f(t) (сплошная кривая) и график функции (пунктир). Согласно формуле (2.29),

т.е. спектральная амплитуда на нулевой частоте есть постоянная величина, определяемая площадью импульса. Если частота ω увеличивается, то, как видно из (2.29), спектральная амплитуда уменьшается. Убывание происходит медленно до тех пор пока период функции , равный , значительно превышает длительность импульса , т.е. в области частот, определяемой неравенством Если же

то, как видно из рис. 2.5, спектральная амплитуда стремится к нулю. Итак,

Р и с. 2.5

Область наиболее быстрого спада функции приходится, очевидно, на частоту

которую можно принять за меру ширины распределения . Добавим, что формула (2.36) из приближенной превращается в точную, если использовать интегральные определения длительности импульса и ширины спектра:

В этом случае соотношение (2.36) есть прямое следствие формул (2.28), причем оно справедливо независимо от конкретного вида функции f(t).