Комплексная запись

Пользуясь формулой, перепишем в виде

Теперь введем комплексную спектральную амплитуду

Пользуясь формулой Эйлера

выразим произведение . Получим

Обратим внимание на то, что действительная часть этого комплексного выражения является четной функцией частоты , в то время как мнимая часть - нечетной. Поэтому, интегрируя правую и левую части выражения (2.23) по частоте в бесконечных пределах, получаем

В силу соотношений (2.18), (2.24)

Теперь найдем функцию . По определению (2.21) и в соответствии с (2.12), (2.22) имеем

Суммируя результаты, запишем комплексные представления преобразований Фурье

Для упрощения записи опустим индекс "к" у комплексной спектральной амплитуды, тогда интегралы Фурье приобретают вид

Если f(t) – четная функция времени, то ее спектральная амплитуда является действительной и четной функцией частоты, а преобразование Фурье может быть записано в виде интеграла от действительной функции по положительным частотам:

Интегралы (2.29) называются формулами косинус-преобразования Фурье.