Применение метода наименьших квадратов при аппроксимации апериодических зависимостей

Часто экспериментальные зависимости заведомо описываются дифференциальными уравнениями первого порядка (например, нарастание тока в обмотках управления, нарастание давления в полостях силового цилиндра), решением которых являются экспоненты. По результатам экспериментальных измерений желательно определить параметры экспоненты. Для получения исходных данных необходимо провести эксперимент – подать на вход элемента скачек сигнала и записать реакцию на выходе.

Для упрощения расчетов желательно нормировать полученные экспериментальные данные: совместить начало процесса с началом координат, установившееся значение выходной величины принять равной 1. В этом случае мы будем искать аппроксимирующую зависимость в виде

G = 1 – e^-kx,

или

G = 1 – e^-(x/T) ,

здесь G - реакция системы, х - входной сигнал системы, k = 1/ T.

Как и ранее составим величину φ – сумму квадратов отклонений экспериментальных точек от экспоненты

φ = ∑(y _i -1 + e^-kx_i )².

Как и ранее для k следует выбирать такое значение, при котором φ имеет минимум, т.е.

dφ/dk = -2 ∑(y _i -1 + e^-kx_i ) kx _i = 0,

т.к. 2 ≠ 0, kx _i ≠ 0, то (???e^-kx_i ≠ 0???),

то y _i -1 + e^-kx_i = 0,

откуда

e^-kx_i = 1 - y_i.

Если в последнем уравнении взять натуральный логарифм от левой и правой частей, то получим

- kx _i = ln(1 – y _i),

и далее

k = - (ln(1- y _i))/ x _i.

Если есть предположение, что рассматриваемый процесс может быть удобно описан экспонентой то по полученной формуле нужно определить 3 – 4 значения коэффициента k, затем определить среднее значение k. Предварительно нужно пронормировать экспериментальные данные как указывалось выше.

Примеры: Рассмотрим определение показателя для функции y = 1-e^-x

В первом столбце таблицы приведены значения аргумента х, во втором столбце приведены рассчитанные значения функции у. Выберем на расчетном графике три точки:

1) х_i = 0,5 y_i = 0,39

k = - (ln(1- y_i))/x_i = - (ln(1- 0,39))/0,5 = - (ln0,61)/0,5 = - 2,303*log(0,61)/0,5= 0,99. (Примечание: log(0,61) – число отрицательное)

2) х_i = 1 y_i = 0,63

k = - (ln(1- y_i))/x_i = -(ln(1- 0,63))/1 = - (ln0,37)/1 = 2,303*log(0,37)/1 = 0,99.

3) х_i = 6 y_i = 0,998

k =- (ln(1- y_i))/x_i = (ln(1- 0,998))/6 = = - 2,303 (log (-0,002))/6= 1,04.

Примечание: число – 2,303 – модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным.

Определяем среднее значение k.

k = (0,99 + 0,99 + 1,04)/3 = 1,006.

С полученным показателем степени строится график по данным третьего столбца. В пределах точности построения оба графика совпали.

Пример 2: Рассмотрим определение показателя для функции

y = 1-e^-0.01x . В первом столбце таблицы приведены значения аргумента х, во втором столбце приведены рассчитанные значения функции у. Выберем на расчетном графике три точки:

1) х_i = 0,005 y_i = 0,4

k = - (ln(1- y_i))/x_i = -(ln(1- 0,4))/0,005 = - 2,303(lg 0,6)/0,005= 102,3.

2) х_i = 0,015 y_i = 0,777

k = - (ln(1- y_i))/x_i = -(ln(1- 0,777))/0,015 = - 2,303(lg 0,222)/0,015 = 100,1.

3) х_i = 0,025 y_i = 0,918

- (ln(1- y_i))/x_i = (ln(1- 0,918))/0,025 = = - 2,303(lg(0,082))/0,025= 100,1.

Определяем среднее значение k.

k = (102, 3 + 100,1 + 100,1)/3 = 100,8.

С полученным показателем степени строится график по данным третьего столбца. В пределах точности построения опять оба графика совпали.