Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Обработка результатов прямого измерения





Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины:

x1, x2, x3,... xn. (2)

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx. В таком случае мы можем записать результат измерений в виде

µ = ± Δx (3)

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде

l = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95)

Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм.

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.

Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

(4)

где Δx – отклонение от величины истинного значения;

σ – истинная среднеквадратичная ошибка;

σ 2– дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.


Рис.16

Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0, кроме того, она является четной.

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

, (9)

В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента t.

Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

Δx = · t. (10)

где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;
– среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 2.

Из сказанного следует:

1. Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.

2. При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

1. Результат каждого измерения запишите в таблицу.

2. Вычислите среднее значение из n измерений

= Σ x i / n.

3. Найдите погрешность отдельного измерения

.

4. Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений

(Δx 1)2, (Δx 2)2,..., (Δx n)2.

5. Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического

6. Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).

7. Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.


8. Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)

Δx = · t.

9. Если величина погрешности результата измерения Δx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора δ, то в качестве границы доверительного интервала возьмите

.

Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

10. Окончательный результат запишите в виде

.

11. Оцените относительную погрешность результата измерений

.

Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим среднее значение и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты (таблица).

n d, мм
  4.02 + 0.01 0.0001
  3.98 - 0.03 0.0009
  3.97 - 0.04 0.0016
  4.01 + 0.00 0.0000
  4.05 + 0.04 0.0016
  4.03 + 0.02 0.0004
Σ 24.06 0.0046

 

 

 

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10).

Δd = 0.01238 · 2.57 = 0.04 мм.

Сравним случайную и систематическую ошибки:

,

следовательно, δ = 0.005 мм можно отбросить.

Окончательный результат запишем в виде

d = (4.01 ± 0.04) мм при Р = 0.95.

 

 







Date: 2015-07-27; view: 561; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.009 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию