Определение параметров функций по экспериментальным данным

В результате проведения различных экспериментов устанавливаются зависимости одних величин (результатов) от других величин (факторов). В результате проведения экспериментов обычно составляют таблицы или графики. В этом случае часто бывает затруднительно проводить анализ влияния факторов на результат и использовать информацию для последующего анализа. В связи с этим стремятся заменить таблицы или графики некоторыми аналитическими зависимостями.

Задача приближенного изображения эмпирической функции посредством простой аналитической зависимости возникает не только, когда нет никакой зависимости, ни и когда есть достаточно сложная зависимость. Эта проблема также возникает при использовании различных методик расчета, снабженных графическими зависимостями для коэффициентов. Возникают вычислительные трудности, исключающие применение компьютерных средств (например, пакета EXCEL).

Исследователям или расчетчикам необходимо решать следующие две задачи:

- задачу изображения эмпирических данных в виде достаточно простой и достаточно аналитической зависимостью,

- задачу приближенного представления сложной функции с помощью простой функции.

Решение обеих задач предусматривает:

- нахождение вида аналитической зависимости на основе анализа исходных данных,

- отыскание неизвестных числовых параметров этой аналитической функции также на основании исходных данных.

Нужно отметить, что для выбора нужной зависимости нет априорных правил. Однако имеются критерии точности аппроксимации, что и используется в этом случае.

Можно сформулировать следующие пути нахождения аппроксимирующих зависимостей:

1. Можно исходить из критерия точности аппроксимации.

2. Можно исходить из условия получения аналитической зависимости (дифференцируемой) зависимости.

3. Можно определять по внешнему виду графика экспериментальной

зависимости.

4. Можно определять по виду заданной зависимости.

5. Можно исходить из физической сущности исследуемого явления (ток в R-C цепи изменяется по экспоненте, движение механической системы с одной степенью свободы описывается дифференциальным уравнение второго порядка и т.д.).

Аналитический вид аппроксимирующей функции обычно определяется непосредственно по виду имеющейся зависимости. Иногда ясно, что искомую зависимость с достаточной для практики точностью можно аппроксимировать линейной зависимостью (y = a x + b), иногда квадратичной параболой (y = a x ² + b x + c), иногда – экспоненциальной зависимостью (y =1-e^-ax) и т.д. Часто подходящий вид аппроксимирующей функции устанавливают, исходя из физической сущности исследуемого явления.

После того, как вид аппроксимирующей функции выбран, ее

параметры должны быть определены «наилучшим образом».

На практике часто применяются следующие методы определения параметров аппроксимирующей функции уже выбранного вида:

- метод уравнивания ординат,

- метод максимального правдоподобия,

- метод наименьших квадратов,

- метод моментов.

В методе уравнения ординат считается, что приближение аналитической зависимости к эмпирической состоит в том, чтобы аналитическая зависимость проходила через заданные эмпирические точки.

Метод максимума правдоподобия применяется, как правило, для определения параметров закона распределения случайной величины.

Наиболее часто применяются метод наименьших квадратов.

Date: 2015-07-27; view: 1436; Нарушение авторских прав