Лекция 8. Простейшие дрижения твердого тела

Вначале докажем одну теорему, справедливую при любом движении твердого тела.

Теорема. Проекции скоростей двух точек тела на ось, проведенную через эти точки, равны.

Доказательство. Пусть - радиусы-векторы двух произвольно выбранных точек тела (рис. 89). Так как тело абсолютно твердое, то вектор , соединяющий эти точки, постоянен по модулю:

Будет постоянен при движении тела и скалярный квадрат вектора :

Рис. 89.

Выражая это равенство через радиусы-векторы точек

и дифференцируя по времени, последовательно получаем:

Но произведение есть проекция скорости на ось проходящую через точки , а произведение — проекция скорости на эту же ось. Следовательно что и доказывает теорему.

Данная теорема используется при доказательстве других, более частных теорем кинематики, а также при решении задач на определение скоростей.

Пример.

Стержень АВ движется так, что его конец А скользит вдоль вертикальной стенки, а конец В - по горизонтальному полу. Определить скорость точки В в момент, когда стержень наклонен к стенке под углом , если точка А имеет в этот момент скорость (рис. 90).

Рис. 90.

Так как точка А стержня не отделяется при движении от стенки, а точка В - от пола, скорости точек направлены так, как показано на рисунке. В соответствии с теоремой имеем . Вычисляя написанное равенство, получаем

откуда следует

Перейдем теперь к изучению простейших движений твердого тела - поступательного и вращательного.