Естественные координатные оси и их орты

Пусть заданы траектория точки, начало и направление отсчета дуг. Выберем на траектории произвольным образом точку М и проведем касательную . Плоскость, проходящая через точку М перпендикулярно к касательной , называется нормальной плоскостью траектории в точке М (рис. 84).

Придадим дуговой координате s приращение и отметим точку с координатой . Пусть - касательная к траектории в точке . В общем случае траектория точки - пространственная кривая, поэтому касательные и суть скрещивающиеся прямые.

Рис. 83.

Рис. 84.

Проведем прямую , параллельную касательной . Прямые и образуют плоскость . Предельное положение плоскости , когда точка неограниченно приближается к точке М, называется соприкасающейся плоскостью траектории в точке М Соприкасающаяся плоскость представляет собой ту из бесконечного множества плоскостей, проходящих через касательную , которая наиболее тесно примыкает к траектории в окрестности точки М. В случае плоской траектории соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью траектории.

Нормальная и соприкасающаяся плоскости взаимно перпендикулярны. Проведем через точку М третью плоскость, перпендикулярную к обеим указанным плоскостям - так называемую спрямляющую плоскость. В итоге получаем прямой трехгранный угол с вершиной в точке М, называемый естественным трехгранником траектории в этой точке. Ребрами естественного трехгранника являются касательная , главная нормаль - линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей и бинормаль (вторая нормаль) - линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей (рис. 85).

Касательная, главная нормаль и бинормаль взаимно перпендикулярны и после установления на них направлений образуют естественную систему координатных осей. Положительное направление касательной выбирается в сторону возрастания дуговой координаты s и задается ортом касательной . Положительное направление главной нормали задается ортом , который направляют от точки М в сторону вогнутости траектории. бинормали выбирают согласно правилу , чем обеспечивается правосторонность естественного координатного базиса (см. рис. 85).

Рис. 85