Примечания

1. Если в минусовых клетках построенного цикла находится два (или несколько) одинаковых минимальных значения хij, то при перераспределении объемов груза освобождаются две (или несколько) клеток и план становится вырожденным. Для продолжения решения необходимо одну или несколько освобождающихся клеток таблицы занять нулем, причем предпочтение отдается клетке с наименьшим тарифом. Нулей вводится столько, чтобы во вновь полученном опорном плане число занятых клеток было равно (m+n-1).

2. Если в оптимальном плане транспортной задачи оценка свободной клетки равна нулю (∆_ij=0), то задача имеет множество оптимальных планов. Для клетки с нулевой оценкой можно построить цикл и перераспределить груз. В результате полученный оптимальный план будет иметь такое же значение целевой функции.

3. Значение целевой функции на каждой итерации можно рассчитать следующим образом:

F(X_k) = F(X_k-1) - γ∆_ij (задача поставлена на минимум)

F(X_k) = F(X_k-1) + γ∆_ij (задача поставлена на максимум)

Где γ – величина перемещаемого по циклу груза;

∆ij - оценка свободной клетки, в которую направляется груз при переходе к новому плану;

F(X_k) – значений целевой функции на k-й итерации;

F(X_k-1) – значение целевой функции на предыдущей итерации.

Рассмотрим применение метода потенциалов на примере решения сквозной задачи. Ранее был получен опорный план метода северо-западного угла.

План не вырожденный; F(x)=1690

Проверяем полученный план на оптимальность и находим оценки свободных клеток (согласно алгоритму)

Составляем уравнения для определения потенциалов (для каждой загруженной клетки).

α₁+ β₁ =4; α₂+ β₁ =3; α₂+ β₂ =1; α₂+ β₃ =2; α₃+ β₃ =3; α₃+ β₄ =7.

Полагая, что α₃=0, то получаем: β₄ =7; β₃ =3; α₂=-1; β₂ =2; β₁ =4; α₁=0.

Получаем следующую таблицу.

Далее вычисляем оценки свободных клеток и выполнения условия ∆_ij< α_i + β_j – c_ij

Для клетки (1,2): 0 + 2 - 7 = -5

Для клетки (1,3): 0 + 3 - 2 = 1

Для клетки (1,4): 0 + 7 - 3 = 4

Для клетки (2,4): -1 + 7 - 4 = 2

Для клетки (1,2): 0 + 4 - 5 = -1

Для клетки (1,2): 0 + 2 - 6 = -4

Наличие положительных оценок свидетельствует о том, что план не оптимален и его можно улучшить.

Для свободной клетки, имеющей максимальную положительную оценку- +4 (клетка 1,4) строим контур (цикл) перераспределения груза, так, чтобы вершины контура лежали в загруженных клетках.

Нарисуем этот цикл. Для каждой клетки указаны ее индексы и объем поставок.

Стартовой клетке (1,4) припишем знак «+». Двигаясь по циклу, чередуем знаки. Среди поставок со знаком «-» (это клетки (1,1),(2,3),(3,4)) найдем минимальную: min(30,30,130) =30. После этого в клетках со знаком «-» уменьшим поставки на этот минимум, а в клетках со знаком «+» увеличим на этот минимум. Клетка (1,4) становится отмеченной (загруженной).

Если получена одна клетка с нулевой поставкой, то она становится пустой. У нас таких клеток две – (1,1),(2,3). Поэтому пустой объявим только одну из них с наибольшим тарифом– клетку (1,1). В клетку (2,3) будет сделана нулевая поставка, и она останется отмеченной. Это делается для выполнения соотношения: число отмеченных клеток = число столбцов + число строк – 1. Получаем новый план поставок.

Для нового плана находим оценки строк и столбцов. Затем получим матрицу оценок клеток:.

План является неоптимальным, так как оценка клетки (2,4) больше нуля. Строим для нее цикл пересчета: (2,4) – (3,4) – (3,3) – (2,3) – (2,4) и получаем новый план:

Для нового плана находим оценки строк и столбцов. Затем получаем матрицу оценок клеток:.

План является неоптимальным, так как оценка клетки (3,1) больше нуля. Строим для нее цикл пересчета: (3,1) - (2,1) - (2,4) - (3,4) - (3,1).

min (70,100) = 70. В клетках с «+» поставки увеличиваются на 70, а в клетках с «-» поставки уменьшаются на 70. Клетка (2,1) становится пустой. Новый план поставок:

Находим оценки срок и столбцов. Получаем матрицу оценок:

Матрица оценок не содержит положительных чисел. Получен оптимальный план поставок. Суммарные затраты на перевозку груза равны: 3*30+1*120+4*70+5*70+3*150+7*30=1500.

Напомним, что суммарные затраты на перевозку груза для первоначального плана были 1690.

Поставщик А1 должен поставить 30 единиц груза потребителю В4. Поставщик А2 должен поставить 120 единиц груза потребителю В2 и 70 единиц груза потребителю В4.. Поставщик А3 должен поставить 70 единиц груза потребителю В1, 150 единиц груза потребителю В3, 30 единиц груза потребителю В4.