Свойства функции распределения

Свойство 1. Функция распределения F(x)–неубывающая функция, т.е. для таких что x₁<x₂ .

Пусть х₁ и х₂ принадлежат множеству Ω_х и х₁<х₂.Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее, чем х₂, т.е. , представим в виде объединения двух несовместимых событий

.

Тогда по теореме сложения вероятностей получим

, т.е.

. Поскольку , то

.

Свойство 2. Для любых

Замечание. Если функция распределения F(x) непрерывная, то свойство выполняется и при замене знаков ≤ и < на < и ≤.

Свойство 3. , .

, .

Свойство 4. Функция F(x) непрерывна слева. (т.е. ).

Свойство 5. Вероятность того, что значение случайной величины Х больше некоторого числа х, вычисляется по формуле.

.

Достоверное событие {-∞<x<+∞} представим в виде двух несовместимых событий. . Найдем их вероятности

.

Поскольку вероятность достоверного события равна единице, то

. Отсюда .