Производная по направлению и вектор-градиент скалярного поля

Производной функции в точке P по направлению (обозначают ) называется предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения при : .

Заметим: если в точке P, то функция в этом направлении возрастает, если – убывает. Можно сказать, что производная по направлению дает скорость изменения функции в этом направлении.

Формулу вычисления производной по направлению: .

Градиентом скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, координаты которого совпадают со значениями соответствующих частных производных этой функции: , или .

, где –угол между векторами gradu и . Из этого равенства следует, что принимает наибольшее значение, когда , то есть , значит, направление совпадает с направлением gradu.

Таким образом, gradu есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.