Линейные однородные и неоднородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y ₀(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y ₁(x) неоднородного уравнения:

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.

Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k ₁ и k ₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C ₁ и C ₂ − произвольные действительные числа.

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k ₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k ₁ = α + βi, k ₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде