Сходимость ряда

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) имеет конечный предел. Этот предел называется суммой ряда.

Если последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.

Простейшие примеры сходимости и расходимости дает ряд, члены которого образуют бесконечную геометрическую прогрессию:

.

Если >1, то ряд расходится, так как

а если то ряд сходится и сумма его равна
Если , то ряд расходится.
Если , то имеем, что Значит, не существует предела последовательности частичных сумм и ряд расходится.

Таким образом, если , то геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей. Она образует сходящийся ряд (сумма его ). Если , то прогрессия является расходящимся рядом.

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то un= 0. Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел = S. Тогда имеет место также равенство = S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = = un =0, что и требовалось доказать. Следствие. Если un ≠0, то ряд u1+u2+…+un… расходится. Пример. Ряд расходится, так как un = . Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что un =0 не следует, что ряд сходится. Позже докажем, что так называемый гармонический ряд (6) расходится, хотя un =