Дискретные сигналы

Цифровые устройства обрабатывают дискретные сигналы, которые получают, дискретизируя непрерывные сигналы с помощью электронного ключа (ЭК) через равные интервалы времени T (рисунок 5.1).

Для дискретной последовательности применяют следующие обозначения:

Частота дискретизации равна:

.

Рисунок 5.1

Дискретный и непрерывный сигналы во временной области связаны соотношением:

В частотной области связь спектров аналогового и дискретного сигналов имеет вид:

где

Таким образом, спектр дискретного сигнала состоит из периодической последовательности спектров исходного непрерывного сигнала с периодом (рисунок 5.2).

Спектр аналогового и дискретного сигналов совпадают в диапазоне частот , если выполняется неравенство:

где – верхняя частота спектра аналогового сигнала.

Рисунок 5.2

Уравнение (5.4) соответствует теореме Котельникова о минимальной частоте дискретизации . Таким образом, аналоговый сигнал может быть полностью восстановлен с помощью фильтра низких частот с частотой среза . При выполнении условия (5.4), сигнал восстанавливается без искажений.

Формулы преобразования Лапласа для дискретных сигналов с учетом нормирования имеют вид:

Сделав замену , получим преобразование Фурье для дискретных сигналов в виде:

Формулы z-преобразования получаются из формул Лапласа (5.5) заменой на:

Учитывая, что , прямое и обратное z-преобразование имеет вид:

Мнимая ось плоскости соответствует многократному обходу единичной окружности плоскости , а левая и правая полуплоскости переменной соответствуют плоскости единичного круга и плоскости за пределами единичного круга соответственно.

Подстановка в (5.8)приводит к спектру сигнала, а подстановка (5.7) к преобразованию Лапласа.

Пример 5.1. Определить спектр и построить графики модуля и аргумента спектральной плотности сигнала (рисунок 5.3).

Z-изображение сигнала согласно (5.8):

Рисунок 5.3

Подстановка (5.9) определит спектр сигнала:

Графики спектра модуля и аргумента представлены на рисунках 5.4, 5.5 и 5.6.

Рисунок 5.4

Модуль спектральной плотности сигнала:

.

Рисунок 5.5

Аргумент спектральной плотности сигнала:

.

Рисунок 5.6

Основные свойства z-преобразования:

1. z-преобразование линейно:

если

то

2. Запаздывание на Q позиций:

если

то

3. Свертка сигналов: если

то

Выше было показано, что дискретизация сигнала во временной области с периодом дискретизации, приводит к появлению периодического повторения спектра сигнала, который он имел до дискретизации с периодом . Периодическое повторение дискретизированного сигнала с периодом приводит к дискретизации спектра с периодом . Если сигнал ограничен во времени величиной , а его спектр частотой , то он полностью характеризуется конечным числом отсчетов как во временной, так и в частотной областях (Рисунок 5.7):

и .

Рисунок 5.7

Связь дискретного сигнала и дискретного спектра устанавливается дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Формулы ДПФ следуют из формул Фурье для дискретных сигналов (5.6) заменой на (:

или с учетом, что получим:

Формулы (5.10) выражают связь между N отсчетами дискретного сигнала и N отсчетами его непрерывного спектра.

Пример 5.2 - Определить дискретный спектр дискретного сигнала (рисунок 5.8).

Так как то график спектра имеет вид:

Рисунок 5.8

Пример 5.3 - Дискретизировать импульс вида и сравнить спектры исходного и дискретного сигналов. График сигнала имеет вид (рисунок 5.9):

Рисунок 5.9

Если , то наибольшее искажение исходного непрерывного сигнала наблюдается в окрестности t=0 и это повлияет на спектр. Если , то

Сравним спектры исходного и дискретизированного сигнала при

C учетом нормализации:

Спектр аналогового сигнала при будет равен (см. таблицу преобразования Фурье основных функций):

Таким образом, разность значений спектров равна 0,082 в точке максимальной крутизны, т.е. является максимальной.

Date: 2015-07-27; view: 581; Нарушение авторских прав