Тіктөртбұрыштар үшін екі еселі Риман интегралы

f(x,y) функциясы А=[a,b]×[c,d] тіктөртбұрышында анықталған және шенелген болсын.

Барлық мүмкін U P₁,P₂жоғарғы қосындылардан құрылған сандар жиынының инфимумы жоғарғы интеграл, ал L(P₁,P₂;f) төменгі қосындылардан құрылған сандар жиынының супремумы төменгі интеграл деп аталып, сәйкес

f(x,y) dxdy және f(x,y) dxdy түрінде белгіленеді. Сонымен

f(x,y) dxdy = U (P₁,P₂;f), (1)

f(x,y) dxdy = L(P₁,P₂;f). (2)

m𝑣(A) ≤L(P,f)≤U(P,f)≤M𝑣(A) теңсіздігі мен (1),(2) анықтамалары бойынша

m(A)≤ f(x,y) dxdy ≤ M𝑣(A),

m(A)≤ f(x,y) dxdy≤ M𝑣(A).

Сонымен әр шенелген f функциясының төменгі де, жоғары да интегралдары әрқашанда бар және олар нақты сандар.

Бір айнымалы функция жағдайындағы сияқты, әрқашанда

f(x,y) dxdy ≤ f(x,y) dxdy болатыны дәлелденеді.

А=[a,b]× [c,d] тіктөртбұрышында анықталған және шенелген f(x,y) функциясы үшін

f(x,y) dxdy = f(x,y) dxdy теңдігі орындалады, онда

f(x,y) функциясы A тіктөртбұрышында Риман бойынша интегралданады деп, ал жоғарғы және төменгі интегралдардың ортақ мәні f(x,y) А-дағы интегралы деп аталып,

f(x,y) dxdy не f(x,y) dxdy

символымен белгіленеді. Бұл белгілеудегі dxdy өрнегі 𝑣(A_ij)= x_i y_i көбейтіндісін береді. Сонда d𝑣=dxdy деп алып, интегралды

f(x,y) d𝑣 = fd = fd𝑣

ықшам түрінде белгілейміз.