Тіктөртбұрыштар үшін екі еселі Риман интегралы қасиеттері

1 теорема. Егер f функциясы А тіктөртбұрышында интегралданса, онда әрбір с нақты саны үшін c*f функциясы да сол жиында интегралданады да (1) теңдігі орындалады.

Дәлелдеуі. Егер c=0 болса, онда (1) теңдігінің орындалуы айқын, өйткені оның екі жағы да нөлге айналады. Енді c<0 болсын. Әр P=()бөлшектенуі үшін

Дәл осылай , сондықтан, сондай-ақ . Бұдан f функцияның интегралданатынын ескере отырып, сол сияқты болатынын көреміз. Сол себептен яғни cfфункциясы расында да интегралданып, (1) теңдігі орындалады. Енді c>0 қалды. Теореманың дәлелденген бөлігін екі рет қолданып, әуелі (-c)f, сонан соң (-1) (-c)f=cf функциясы интегралданып, ,теңдігі орындалатын көреміз. Теорема толық дәлелденді.

2 теорема. Егерде және функциялары А тіктөрт-да интегралданса, онда сол жиында олардың қосындысы да интегралданып, (2)

теңдігі орындалады.

3 теорема. тіктөртбұрышында интегралданатын функциялары мен нақты сандары берсін. Онда функциясы да А жиынында интегралданып

, теңдігі орындалады.

Интегралдың аддитивтік қасиеті. 4 теорема. A=[ Тіктөртбұрышы мен оның бөлшектеуі берілсін. f Функциясы А жиынында анықталған және шенелген болсын. Онда f функциясы A тіктөртбұрышында Риман бойынша интегралдану үшін f функциясы әр (i=1,…,k; j=1,…,l) тіктөртбұрышында интегралдануы қажетті және жеткілікті. Бұл жағдайда теңдігі орындалады.

3.Теңсіздіктерді интегралдау. Орташа мән туралы теоремалар. 5 теорема. Егерде А тіктөртбұрышында және функциялары интегралданып, әр (x,y) үшін теңсіздігі орындалса, онда болады. Соның ішінде, егер А тіктөртбұрышында f функциясы интегралданып, әр (x,y) үшін f(x,y) болса, онда . Дәлелдеуі. f(x,y)= Болсын, онда әрбір (x,y) үшін теңсіздігі орындалады. 3 – теорема бойынша f функциясы А жиынында интегралданады. Кез келген P=() бөлшектеуі үшін (i=1,…,k; j=1,…,l),U(P,f)=

демек, ,яғни (23), сонымен бірге (22) – де дәлелденді.

6 теорема. a<b Және c<d сандары беріліп, A=[a,b]*[c,d],тіктөртбұрышында f функциясы интегралдансын. Егерде қайсыбір m және M сандары мен әрбір (x,y) үшін m болса, онда (24) теңдігі орындалатындай саны табылады. Егерде f функциясы А жиынында үзіліссіз болса, онда саны ретінде функцияның мәнін алуға болады, яғни қайсыбір ( үшін () .

7 – теорема. Егерде f функциясы А тіктөртбұрышында интегралданса, онда функциясы А жиынында интегралданып , теңсіздігі орындалады.