Комплексной переменной

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ

Основные понятия теории функций

комплексной переменной

Множество всех комплексных чисел обозначают С. Между множеством С и множеством точек (x, y) плоскости xOy существует взаимно однозначное соответствие. Плоскость xOy называют комплексной плоскостью (плоскостью C).

Множество C пополняют элементом который называется бесконечностью или бесконечно удаленной точкой. Комплексная плоскость, которую пополнили бесконечностью, называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается Ĉ.

Множество точек которые лежат внутри круга радиуса с центром в точке называется e - окрестностью точкиz ₀, т. е.

Проколотой e - окрестностью точки z ₀ называется ее e - окрестность без центра z ₀.

Для бесконечной точки из расширенной плоскости Ĉ понятие r-окрестности определяется как множество точек, которые находятся вне круга радиуса r с центром в начале системы координат, т. е. это множество точек z, для которых

Множество D называют ограниченным, если существует круг конечного радиуса с центром в начале системы координат, который содержит это множество.

Точка называется внутренней для множества D, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся внутри множества D. Множество D, которое содержит только внутренние точки, называется открытым множеством.

Связным называется множество, любые две точки которого можно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей множеству. Множество D точек комплексной плоскости называют областью, если оно является открытым и связным.

Граничной точкой области D называется такая точка, которая сама не принадлежит D, но в любой ее окрестности есть точки области D. Совокупность всех граничных точек области D называется ее границей. Область D с присоединенной к ней границей Г называется замкнутой областью

Точки комплексной плоскости, которые не принадлежат называются внешними для области D.