Число и пространство

После этих предварительных замечаний приведем несколько полученных нами результатов, начав со сложной проблемы сведения числа, к логике. Известно, что Уайтхед и Рассел пытались свести простые целые числа к классам эквивалентных классов путем установления дву-, однозначных соответствий, тогда как Пуанкаре утверждал, что число основывается на несводимом интуитивном представлении об «n + 1». Позднее теоремы Гёделя подкрепили позицию Пуанкаре, показав те трудности, с которыми сталкивается редукционизм в целом, однако обнаружилось, что психоло­гически интуитивное представление об «n + 1» не является столь прими­тивным и возникает в операциональной форме (т.е. с сохранением числа при изменении расположения элементов) лишь к 7–8 годам в связи со структурированием классов и асимметричных отношений. Необходимо, следовательно, искать решение, которое преодолевало бы одновременно и редукционизм « Principia Mathematica»[43], и тезис о совершенной специ­фичности понятия натурального числа.

В действительности, между 4 и 7 годами мы являемся свидетелями конструирования трех взаимосвязанных систем операций. Во-первых, ребенок овладевает сериациями, т.е. транзитивным упорядочиванием по­рядковых отношений: А перед В, В перед С и т.д. Во-вторых, он конструи­рует классификации или «группировки» классов, простейшая форма ко­торых состоит в том, чтобы объединять самостоятельные классы А и А' в В, затем В и самостоятельный класс В' в С, затем С и С в D и т.д. Допус­тим теперь, что ребенок абстрагируется от качеств, т.е. что А, А' и В' рас­сматриваются как эквивалентные и не различимые в качественном отно­шении (что имеет место, если речь идет, например, об одинаковых жето­нах, кнопках и т.п.). В этом случае мы имели бы А + А' = В' и т.д. и, следо­вательно, А + А = А. Чтобы избежать тавтологии (т.е. в действительно­сти опасности забыть один элемент или дважды посчитать один и тот же и т.д.), существует лишь одно средство: это различить А, А ' и В' с помощью порядка их нумерации. Действительно, этот порядок дифференцирует их даже при условии абстрагирования от качеств, так как фактически речь идет о «замещающем» порядке, т.е., если меняются термины, порядок остается тем же самым (первый, второй и т.д. в соответствии с тем, что первый не имеет предшественников, второй имеет только одного и т.д.). Число появляется, таким образом, как синтез включения классов и сериационного упорядочивания, т.е. как новая комбинация, но на основе чис­то логических признаков.

Что касается взаимно-однозначного соответствия между классами, на которое ссылались Principia, то здесь имеет место своего рода порочный круг, так как существуют два типа совершенно различных операций: или установление качественных соответствий (объект, соответствующий дру­гому объекту того же качества, как один квадрат другому квадрату, один круг – другому кругу, и т.д.), или установление соответствий неопреде­ленных, абстрагирующихся от качеств. Однако в последнем случае инди­видуальный объект становится арифметической единицей и перестаёт быть единицей только логической (самостоятельный класс определённо­го качества): сделать два класса эквивалентными через «неопределен­ное» соответствие значит имплицитно ввести в понятие класса число, чтобы затем вывести его из него эксплицитно! Впрочем, Уайтхед и Рассел сами вынуждены были прибегнуть к упорядочиванию, так как чтобы из­бежать тавтологии 1 + 1 = 1 и прийти к итерации 1 + 1 = 2, им пришлось ввести различение между 0 + 1 и 1 + 0. Утверждая, что число является синтезом включения классов и отношений упорядочивания, мы таким образом, резюмируем то, что в той или иной форме вынуждена говорить всякая аксиоматизация.

Отсюда можно вывести определенное число следствий, касающихся специфики рекуррентных рассуждений, удивительно ранние примеры ко­торых можно обнаружить у детей уже на дооперациональной стадии раз­вития.

Что касается проблемы пространства, то мы смогли настоять на опе­раторном по его сути характере формирования этого понятия, несводимого к перцептивному опыту, несмотря на попытки Ф.Энрикеса свести различные формы геометрии к разным сенсорным категориям. Проблема состояла в том, чтобы установить, возникают ли пространственные операции в ходе спонтанного интеллектуального развития (не зависящего от школьного обучения) в соответствии с историческим порядком (евклидо­ва метрика, затем проективные представления и, наконец, обнаружение топологических связей) или же порядок их формирования больше соот­ветствует теоретическому порядку (топологические представления вначале и затем параллельное конструирование проективного пространства и метрики, постепенно принимающей евклидову форму). Оказывается, что если рассмотреть отдельно перцептивное и сенсомоторное простран­ства (возникающие уже в первые месяцы жизни) и пространство понятийное или операторное, мы обнаружим в обеих областях (но с хронологическим декаляжем) один и тот же закон развития: первоначальное фор­мирование топологических связей соседства, непрерывности, замкнутости, положения по отношению к границам и т.д. и лишь затем одновре­менное и взаимосвязанное конституирование евклидовых и проекционных отношений, что предполагает координацию точек зрения в последнем

случае и метрические референции (двух- или трехмерные измерения и ес­тественные координаты) в случае евклидовых отношений. Необходимо особо отметить, как долго порядковые отношения превалируют над мет­рическими соображениями: один из двух равных прямых стержней (тот, который затем сдвигается и оказывается несколько выше), равенство ко­торых было проверено путем наложения, оценивается как «более длин­ный», так как он «заходит дальше». Легко убедиться, что речь в данном случае не идет о семантическом недоразумении, поскольку края (высту­пающие части одного стрежня сверху и другого снизу) не оцениваются как равные.