Теперь найдём собственные векторы

Итак, в нашем распоряжении есть выражение , и координаты собственного вектора определены не однозначно. Стараемся подобрать значение «игрек» так, чтобы первая («иксовая») координата собственного вектора была целой, положительной и минимальной.

Пусть , тогда:

Обязательно проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы:

Таким образом:

2) Найдём второй собственный вектор. Для этого мысленно либо на черновике подставим в определитель и запишем вторую однородную систему:

Из обоих уравнений следует, что .

Положим , тогда:

В результате, собственный вектор: .

Повторим важные моменты решения:

– полученная система непременно имеет общее решение (уравнения линейно зависимы);

– «игрек» подбираем таким образом, чтобы первая «иксовая» координата была целой, положительной и как можно меньше.

– проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Ответ: собственные числа: , собственные векторы: .

Промежуточных «контрольных точек» было вполне достаточно, поэтому проверка равенств , в принципе, дело излишнее.

В различных источниках информации довольно часто собственные векторы записывают не в столбцы, а в строки, например: (и, если честно, я сам привык записывать их строками). Такой вариант вполне приемлем, но всё-таки «идеологически правильнее» использовать векторы-столбцы.

Возможно, решение показалась вам очень большим по объёму, но это только потому, что я очень подробно прокомментировал первый пример. На самом деле случай «два на два» – одно из самых простых и коротких заданий, которое только может встретиться в контрольной работе.

Пример 2

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Иногда требуется выполнить дополнительное задание, а именно: