Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Жордано-Гаусса. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.

Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:

(Понятно, что обратная матрица должна существовать)

Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, данная задача рассмотрена крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями!

Демо-пример: найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей: .

А теперь об одном принципиальном моменте. По цитате известного юмориста, для русского человека есть несколько градаций запрета: «запрещено», «строго запрещено» и «категорически запрещено». Так вот, в рассматриваемой задаче КАТЕГОРИЧЕСКИ ЗАПРЕЩЕНО переставлять строки. Если в ходе решения систем мы могли выполнять данное преобразование, то здесь его полное отсутствие заметно огранивает наши возможности.

Однако не всё так плохо:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К первой строке прибавили вторую строку.

(3) Вторую строку разделили на –2.

Таким образом: . Желающие могут свериться с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу?

Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Отработаем на реальных примерах алгоритм, который я считаю наиболее выгодным. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:

Пример 4

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Решение: присоединяем единичную матрицу и думаем над первым действием. Чтобы получить слева вверху «единицу» хочется поменять местами первую и третью строки, однако беда в том, что ПЕРЕСТАВЛЯТЬ НИЧЕГО НЕЛЬЗЯ. Поэтому используем уже знакомый по предыдущему параграфу мотив: находим наименьшее общее кратное чисел первого столбца (3, 2 и 1): 6. В этой связи:

(1) Первую строку умножаем на –2, вторую строку умножаем на 3, третью строку – на 6:

(2) Ко 2-ой и 3-ей строкам прибавили первую строку.

(3) Первую строку разделили «обратно» на –2. Третью строку разделили на 2.

(4) Что скажешь, тут немного повезло: к третьей строке прибавили вторую строку.

(5) У второй строки сменили знак, третью строку разделили на –3.

Первая половина пути пройдена.

Далее смотрим на числа третьего столбца (2, 13, 4) и находим их наименьшее общее кратное (НОК): 52. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 2, и на 13, и на 4, например, 104. Отличие будет в более громоздких вычислениях.

Кстати, про вычисления. Для решения данной задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку.

Итак, на нижнем этаже получаем –52, а на двух верхних 52. Для этого:

(6) Первую строку умножаем на 26, вторую строку умножаем на 4, третью строку – на –13:

(7) К первой и второй строкам прибавили третью строку.

(8) Первую строку разделили на 13. Третью строку разделили «обратно» на –13.

(9) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (8 и 44) равно 88. Первую строку умножили на 11, вторую строку умножили на –2.

(10) К первой строке прибавили вторую строку.

(11) Первую строку разделили на 3, вторую строку разделили «обратно» на –2.

(12) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (22, 44 и 4-х). Это число 44. Первую строку умножили на 2, третью строку умножили на 11.

(13) Каждую строку матрицы делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь!

Таким образом, обратная матрица:

Внесение и вынесение -ой, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи.

Ответ:

Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице.

Продвинутые люди могут сократить и несколько видоизменить решение, но должен предупредить, отклонение от курса чревато повышенным риском допустить ошибку. По моему мнению, предложенная схема если и не самая, то одна из самых надёжных.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти обратную матрицу методом Жордано-Гаусса.

Примерный образец оформления внизу страницы.

Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: .

На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-ом столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, «единицы».

И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: .

Живой пример авангарда можно посмотреть во втором задании урока о решении системы в различных базисах.

Что касается размерности, то в 98-99% случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Пару раз в пятилетку попадается лайт-версия задачи с матрицей «два на два». Алгоритм, как вы догадываетесь, аналогичный. В самом тяжелом случае через НОК чисел 1-го столбца получаем ноль слева внизу, а затем с помощью НОК чисел 2-го столбца организуем ноль вверху данного столбца. Матрица «четыре на четыре» мне встречалась всего один раз – много-много лет назад в собственной вузовской контрольной. К слову, для неё использование метода Жордано-Гаусса куда менее трудозатратно, нежели обычное решение через алгебраические дополнения.

И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение:

(1) Первую и вторую строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5.
(3) Третью строку разделили на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 7.
(6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15-ти. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.
(7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку.
(8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15.
(9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2
(10) К первой строке прибавили вторую строку.
(11) Вторую строку разделили на 2.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Ответ: общее решение:

Пример 5: Решение: обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований:

(1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5.
(2) Ко 2-ой и 3-ей строкам прибавили первую строку.
(3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5.
(4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9.
(5) К третьей строке прибавили вторую строку.

(6) Вторую строку разделили на 7.
(7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4.
(8) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(10) Вторую строку разделили на 2.
(11) Каждую строку разделили на 27.
В результате:
Ответ:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Решение системы при различных способах выбора базиса

Представляю вашему вниманию заключительную статью по теме решения систем линейных уравнений. Материал предназначен для читателей, владеющих техникой элементарных преобразований на среднем и высоком уровне. Чайникам рекомендую начать с урока метод Гаусса для чайников =), ну а остальным, как людям опытным, предлагаю непосредственно перейти к обсуждению задачи.

Рассмотрим некоторую систему линейных уравнений с пятью неизвестными . Можно было взять мЕньшее количество переменных, можно бОльшее, суть не в этом. Предположим, данная система совместна и имеет общее решение, в котором базисные переменные выражаются через свободные переменные .

Ответим на вопрос, который зародился ещё на уроке Несовместные системы/системы с общим решением и окончательно созрел к занятию Метод Жордано-Гаусса:

А почему, собственно, в роли базисных переменных должны выступать именно ? Нельзя ли в качестве базиса выбрать, например, набор ? Действительно, чем хуже «обычных» ?

Примечание: здесь и далее термин «базис» используется в общем алгебраическом смысле, пожалуйста, не ассоциируйте его с аффинным базисом плоскости или пространства.

В данном примере любые три переменные из списка могут выступать в качестве базисных переменных.

И сегодня мы узнаем, как находить решение системы в различных базисах:

Пример 1

Исследовать систему линейных уравнений на совместность. В случае совместности найти её решение при различных способах выбора базиса.

Решение: надо сказать, задачка не внушает оптимизма, велика вероятность, что система совместна и нам придётся ворочать базисы. Ещё бы – вряд ли в таком контексте условия студент отделается несовместностью системы или единственным решением =)

Но, так или иначе, первая часть предполагает исследование на совместность, которое проводится по типовой схеме с использованием теоремы Кронекера-Капелли. Спросите, зачем тут втиснулось исследование? Я взял пример из конкретной контрольной работы и решил не убирать первую часть (хотя мог бы), поскольку реализм на данном сайте ценится очень высоко.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Первую и вторую строки поменяли местами.

(2) Ко второй, третьей, четвертой строкам прибавили первую строку, умноженную на 2, –3 и –2 соответственно.

(3) Ко второй строке прибавили четвертую строку.

(4) К третьей и четвертой строкам прибавили вторую строку, умноженную на 5 и 2 соответственно.

(5) Третья и четвертая строки пропорциональны, третью строку удаляем. У последней строки меняем знак.

Если не очень понятны какие-нибудь моменты в преобразованиях, то, пожалуйста, отработайте метод Гаусса, благо, примеров я разобрал достаточно много.

Проверка системы на совместность оформляется по шаблону, рассмотренному в последнем параграфе статьи о ранге матрицы:

В результате элементарных преобразований получены эквивалентная исходным матрица системы и расширенная матрица системы .

Максимальный порядок ненулевого минора матрицы системы равен 3, например , следовательно, .

По этой же причине .

Вывод: , значит, по теореме Кронекера-Капелли система совместна.

Элементарные образования приблизили нас к наиболее традиционному выбору:
– базисные переменные;
– свободная переменная.

Обратный ход метода Гаусса работает без всяких чудес. Из третьего уравнения:
– подставим во второе уравнение:

Подставим и в первое уравнение:

Общее решение системы в базисе можно записать в привычном виде , но в целях выполнения дальнейших действий его удобнее оформить так:

Запись обозначает, что свободная переменная принимает произвольные действительные значения, порождая тем самым бесконечно много частных решений.

Выполним стандартную проверку – подставим результат в левую часть каждого уравнения исходной системы:

Получены правые части соответствующих уравнений, таким образом, общее решение найдено верно. Саму систему лучше переписать в тетрадь или распечатать – чтобы посматривать на неё в ходе последующих проверок.

По условию задачи требуется найти решение системы при различных (читай – при всех!) способах выбора базисных переменных. Помимо набора возможны следующие варианты:

Других сочетаний нет.

Не сказать, что задание сильно короткое, но с другой стороны в депрессию тоже не загонит. Начинаем путешествие:

В построенном базисе переведём неизвестную в разряд свободных
( соответственно станет базисной). Переменная содержится в третьей строке полученного решения , поэтому нужно взять эту строку и выразить через :

Подставим в оставшиеся выражения:

И, соблюдая порядок переменных, запишем решение системы в базисе

Для самоконтроля удостоверимся, что в правых частях находятся только свободные переменные (в нашем случае ) и константы. Запись обозначает, что свободная переменная принимает произвольные действительные значения.

Общее решение также можно оформить и в обычном виде:
.

Понимаю, что неохота, но проходим таможенный контроль:

Проверка: подставим найдённое решение в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части уравнений, что и требовалось проверить.

Осуществим переход к следующему базисному решению:

Поскольку переменная становится свободной, то из второй строчки текущего решения нужно выразить:

– и подставить в оставшиеся выражения (первую и четвертую строки):

Таким образом, решение системы в базисе :

И снова окидываем результат взглядом – справа у нас должна находиться только свободная переменная и константы.

Проверка: подставим результат в левую часть каждого уравнения системы:

Получены правые части соответствующих уравнений, значит, решение найдено верно.

Каждый раз проверку, конечно, можете и не выполнять, но тут есть одно большое и жирное НО В рассматриваемом задании часто ошибаются по невнимательности, поэтому настоятельно рекомендую проверять решение на каждом шаге – ведь если пропустить ошибку, всё остальное тоже будет неправильно. Ещё одним аргументом выступает сам естественнонаучный принцип: любое утверждение должно быть обосновано и/или доказано. Проверка реальна? Обязательно проверяем! Кстати, не такой плохой принцип и во многих жизненных ситуациях.

Завершая задание, найдём решение системы в 4-ом базисе. Осуществим переход:

Переменные и меняются ролями, а значит, из первой строки текущего решения следует выразить:

– подставим в оставшиеся выражения (3-ю и 4-ю строки):

Записываем общее решение системы в базисе :

Проверка: подставим найденное решение в левую часть каждого уравнения системы:

ОК.

Желающие могут замкнуть кругосветный круиз переходом , получив тем самым первоначальное решение.

В соответствии с условием задачи оформляем резюме:

Ответ: система совместна, решение системы при различных способах выбора базиса:

Если в системе с четырьмя неизвестными базис состоит из двух переменных (например, – базисные переменные, – свободные переменные), то переход от одного решения к другому решению следует осуществлять по тому же алгоритму, и он даже запишется несколько компактнее, чем в разобранной задаче. Правда, самих базисов будет больше:

Количество базисов системы с переменными, из которых образуют базис, можно подсчитать с помощью комбинаторной формулы сочетаний .

Так, в условном примере начала урока с системой, содержащей пять неизвестных , три из которых образуют базис, будет уже 10 различных базисных решений.

Однако на практике я не встречал ни того, ни другого случая, видимо, связка 4 переменные – 3 базисные переменные является наиболее разумной с точки зрения объёма работы.

Такое тоже не встречалось, но на всякий пожарный: что делать, если по условию требуется найти конкретный базис, например, решение с базисными переменными и свободной переменной ?

При необходимости найти этот базис сразу выручит только метод Жордано-Гаусса, и ваша цель – привести расширенную матрицу системы к виду . Если же автор задачи не торопит вас с ответом, то кроме первого способа, годится и второй, более длинный путь: получаем «традиционное» решение и «без посредников» осуществляем переход к нужному базису: .

Очевидно, что путешествовать от базиса к базису можно по разным маршрутам и решение следующей системы служит наглядной иллюстрацией данного факта:

Пример 2

Найти решение системы линейных уравнений при различных способах выбора базиса

В образце первое базисное решение получено методом Жордано-Гаусса, который здесь более выгоден, чем обратный ход метода Гаусса.

В предложенной системе перебор базисных решений проведён в следующем порядке:

Более стандартна последовательность первого примера, но данный вопрос не принципиален, и для закрепления алгоритма рекомендую попытаться провести решение по альтернативному маршруту, который Птицей счастья завтрашнего дня появляется на экранах ваших мониторов.

Постарайтесь выполнить задание самостоятельно!

Решение :запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко второй и третьей строкам прибавили первую строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.
(2) Вторую строку разделили на 3, у третьей строки сменили знак.
(3) К первой и третьей строкам прибавили вторую строку.
(4) Первую строку разделили на 3, третью строку разделили на 4.
(5) Ко второй строке прибавили третью строку
(6) У второй строки сменили знак.
Таким образом, решение системы в базисе :

Проверка: подставим данное решение в левую часть каждого уравнения системы:

Получены правые части соответствующих уравнений, что и требовалось проверить.

Найдем решение в базисе . Переменная переходит в разряд свободных, поэтому из первой строки текущего решения выразим:
– подставим во вторую и третью строки:

В результате, решение в базисе :

Проверка: подставим данное решение в левую часть каждого уравнения системы:

Получены правые части соответствующих уравнений, значит, решение найдено правильно.

Осуществим переход к базису . Переменная перейдёт в разряд свободных, поэтому из 2-ой строки текущего решения выразим:
– подставим в третью и четвертую строки:

Таким образом, решение в базисе :

Проверка: Подставим данное решение в левую часть каждого уравнения системы:
Найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Перейдём к базису . Переменная уходит в разряд свободных, поэтому из 3-ей строки текущего решения выразим:
– подставим в 1-ую и 4-ую строки:

Решение в базисе :

Проверка: Подставим данное решение в левую часть каждого уравнения системы:

Полученное решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Ответ: решение системы при различных способах выбора базиса:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Собственные значения (числа) и собственные векторы.
Примеры решений

Будь собой

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу, например, . И умножим данную матрицу справа на какой-нибудь подходящий столбец. Мне пришёл в голову вектор :

Вроде ничего примечательного – умножили матрицу на вектор-столбец и получили другой вектор-столбец . Обычная векторная жизнь. Но в обществе таких векторов существуют особые представители, которые обладают внутренним стержнем и не желают изменять себе в трудные минуты.

Умножим ту же матрицу на :

На последнем шаге вынесли константу. Что произошло? В результате умножения матрицы на вектор , данный вектор птицей Феникс возродился с числовым коэффициентом :

Определение: ненулевой вектор , который при умножении на некоторую квадратную матрицу превращается в самого же себя с числовым коэффициентом , называется собственным вектором матрицы . Число называют собственным значением или собственным числом данной матрицы.

В первых абзацах статьи я выставил собственный вектор «главным действующим лицом», но на самом деле всё немного не так: говорят, что собственный вектор соответствует собственному значению . И, немного забегая вперёд, сообщу, что в практических заданиях сначала разыскиваются собственные значения и только потом собственные векторы.

Помимо собственных значений и собственных векторов матрицы, часто говорят о собственных значениях и собственных векторах линейного преобразования, заданного матрицей. В Википедии есть очень удачная геометрическая интерпретация понятия – на репродукции Джоконды синий вектор не меняется в результате перекоса плоскости, а значит, является собственным вектором данного линейного преобразования. Я скуп на внешние ссылки, но здесь не удержался, пожалуйста, сообщите, если данную иллюстрацию вдруг удалят.

Однако про геометрию немножко позабудем, поскольку сейчас в термины вектор, базис и др. вкладывается, прежде всего, алгебраический смысл. Собственные векторы и собственные значения используются во многих математических задачах, моделях, и сегодня мы освоим техническую сторону вопроса.