![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Как найти обратную матрицу методом Гаусса?
Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Жордано-Гаусса. Более простой метод нахождения обратной матрицы Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу (Понятно, что обратная матрица должна существовать) Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, данная задача рассмотрена крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями! Демо-пример: найдём обратную матрицу для матрицы А теперь об одном принципиальном моменте. По цитате известного юмориста, для русского человека есть несколько градаций запрета: «запрещено», «строго запрещено» и «категорически запрещено». Так вот, в рассматриваемой задаче КАТЕГОРИЧЕСКИ ЗАПРЕЩЕНО переставлять строки. Если в ходе решения систем мы могли выполнять данное преобразование, то здесь его полное отсутствие заметно огранивает наши возможности. Однако не всё так плохо: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3. (2) К первой строке прибавили вторую строку. (3) Вторую строку разделили на –2. Таким образом: Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Отработаем на реальных примерах алгоритм, который я считаю наиболее выгодным. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»: Пример 4 Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований Решение: присоединяем единичную матрицу и думаем над первым действием. Чтобы получить слева вверху «единицу» хочется поменять местами первую и третью строки, однако беда в том, что ПЕРЕСТАВЛЯТЬ НИЧЕГО НЕЛЬЗЯ. Поэтому используем уже знакомый по предыдущему параграфу мотив: находим наименьшее общее кратное чисел первого столбца (3, 2 и 1): 6. В этой связи: (1) Первую строку умножаем на –2, вторую строку умножаем на 3, третью строку – на 6: (2) Ко 2-ой и 3-ей строкам прибавили первую строку. (3) Первую строку разделили «обратно» на –2. Третью строку разделили на 2. (4) Что скажешь, тут немного повезло: к третьей строке прибавили вторую строку. (5) У второй строки сменили знак, третью строку разделили на –3. Первая половина пути пройдена. Далее смотрим на числа третьего столбца (2, 13, 4) и находим их наименьшее общее кратное (НОК): 52. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 2, и на 13, и на 4, например, 104. Отличие будет в более громоздких вычислениях. Кстати, про вычисления. Для решения данной задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку. Итак, на нижнем этаже получаем –52, а на двух верхних 52. Для этого: (6) Первую строку умножаем на 26, вторую строку умножаем на 4, третью строку – на –13: (7) К первой и второй строкам прибавили третью строку. (8) Первую строку разделили на 13. Третью строку разделили «обратно» на –13. (9) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (8 и 44) равно 88. Первую строку умножили на 11, вторую строку умножили на –2. (10) К первой строке прибавили вторую строку. (11) Первую строку разделили на 3, вторую строку разделили «обратно» на –2. (12) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (22, 44 и 4-х). Это число 44. Первую строку умножили на 2, третью строку умножили на 11. (13) Каждую строку матрицы делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь! Таким образом, обратная матрица: Внесение и вынесение Ответ: Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице. Продвинутые люди могут сократить и несколько видоизменить решение, но должен предупредить, отклонение от курса чревато повышенным риском допустить ошибку. По моему мнению, предложенная схема если и не самая, то одна из самых надёжных. Аналогичное задание для самостоятельного решения: Пример 5 Найти обратную матрицу методом Жордано-Гаусса. Примерный образец оформления внизу страницы. Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: Живой пример авангарда можно посмотреть во втором задании урока о решении системы в различных базисах. Что касается размерности, то в 98-99% случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Пару раз в пятилетку попадается лайт-версия задачи с матрицей «два на два». Алгоритм, как вы догадываетесь, аналогичный. В самом тяжелом случае через НОК чисел 1-го столбца получаем ноль слева внизу, а затем с помощью НОК чисел 2-го столбца организуем ноль вверху данного столбца. Матрица «четыре на четыре» мне встречалась всего один раз – много-много лет назад в собственной вузовской контрольной. К слову, для неё использование метода Жордано-Гаусса куда менее трудозатратно, нежели обычное решение через алгебраические дополнения. И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =) Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 3: Решение: запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение: Пример 5: Решение: обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований: Автор: Емелин Александр
Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора?
Решение системы при различных способах выбора базиса
Представляю вашему вниманию заключительную статью по теме решения систем линейных уравнений. Материал предназначен для читателей, владеющих техникой элементарных преобразований на среднем и высоком уровне. Чайникам рекомендую начать с урока метод Гаусса для чайников =), ну а остальным, как людям опытным, предлагаю непосредственно перейти к обсуждению задачи. Рассмотрим некоторую систему линейных уравнений с пятью неизвестными Ответим на вопрос, который зародился ещё на уроке Несовместные системы/системы с общим решением и окончательно созрел к занятию Метод Жордано-Гаусса: А почему, собственно, в роли базисных переменных должны выступать именно Примечание: здесь и далее термин «базис» используется в общем алгебраическом смысле, пожалуйста, не ассоциируйте его с аффинным базисом плоскости или пространства. В данном примере любые три переменные из списка И сегодня мы узнаем, как находить решение системы в различных базисах: Пример 1 Исследовать систему линейных уравнений на совместность. В случае совместности найти её решение при различных способах выбора базиса. Решение: надо сказать, задачка не внушает оптимизма, велика вероятность, что система совместна и нам придётся ворочать базисы. Ещё бы – вряд ли в таком контексте условия студент отделается несовместностью системы или единственным решением =) Но, так или иначе, первая часть предполагает исследование на совместность, которое проводится по типовой схеме с использованием теоремы Кронекера-Капелли. Спросите, зачем тут втиснулось исследование? Я взял пример из конкретной контрольной работы и решил не убирать первую часть (хотя мог бы), поскольку реализм на данном сайте ценится очень высоко. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: (1) Первую и вторую строки поменяли местами. (2) Ко второй, третьей, четвертой строкам прибавили первую строку, умноженную на 2, –3 и –2 соответственно. (3) Ко второй строке прибавили четвертую строку. (4) К третьей и четвертой строкам прибавили вторую строку, умноженную на 5 и 2 соответственно. (5) Третья и четвертая строки пропорциональны, третью строку удаляем. У последней строки меняем знак. Если не очень понятны какие-нибудь моменты в преобразованиях, то, пожалуйста, отработайте метод Гаусса, благо, примеров я разобрал достаточно много. Проверка системы на совместность оформляется по шаблону, рассмотренному в последнем параграфе статьи о ранге матрицы: В результате элементарных преобразований получены эквивалентная исходным матрица системы Максимальный порядок ненулевого минора матрицы системы равен 3, например По этой же причине Вывод: Элементарные образования приблизили нас к наиболее традиционному выбору: Обратный ход метода Гаусса работает без всяких чудес. Из третьего уравнения: Подставим Общее решение системы в базисе Запись Выполним стандартную проверку – подставим результат в левую часть каждого уравнения исходной системы: Получены правые части соответствующих уравнений, таким образом, общее решение найдено верно. Саму систему лучше переписать в тетрадь или распечатать – чтобы посматривать на неё в ходе последующих проверок. По условию задачи требуется найти решение системы при различных (читай – при всех!) способах выбора базисных переменных. Помимо набора Не сказать, что задание сильно короткое, но с другой стороны в депрессию тоже не загонит. Начинаем путешествие: В построенном базисе Подставим И, соблюдая порядок переменных, запишем решение системы в базисе Для самоконтроля удостоверимся, что в правых частях находятся только свободные переменные (в нашем случае Общее решение также можно оформить и в обычном виде: Понимаю, что неохота, но проходим таможенный контроль: Проверка: подставим найдённое решение в левую часть каждого уравнения системы: Получены соответствующие правые части уравнений, что и требовалось проверить. Осуществим переход к следующему базисному решению: Поскольку переменная
Таким образом, решение системы в базисе И снова окидываем результат взглядом – справа у нас должна находиться только свободная переменная Проверка: подставим результат в левую часть каждого уравнения системы: Каждый раз проверку, конечно, можете и не выполнять, но тут есть одно большое и жирное НО В рассматриваемом задании часто ошибаются по невнимательности, поэтому настоятельно рекомендую проверять решение на каждом шаге – ведь если пропустить ошибку, всё остальное тоже будет неправильно. Ещё одним аргументом выступает сам естественнонаучный принцип: любое утверждение должно быть обосновано и/или доказано. Проверка реальна? Обязательно проверяем! Кстати, не такой плохой принцип и во многих жизненных ситуациях. Завершая задание, найдём решение системы в 4-ом базисе. Осуществим переход: Переменные
Записываем общее решение системы в базисе Проверка: подставим найденное решение в левую часть каждого уравнения системы: ОК. Желающие могут замкнуть кругосветный круиз переходом В соответствии с условием задачи оформляем резюме: Ответ: система совместна, решение системы при различных способах выбора базиса: Если в системе с четырьмя неизвестными Количество базисов системы с Так, в условном примере начала урока с системой, содержащей пять неизвестных Однако на практике я не встречал ни того, ни другого случая, видимо, связка 4 переменные – 3 базисные переменные является наиболее разумной с точки зрения объёма работы. Такое тоже не встречалось, но на всякий пожарный: что делать, если по условию требуется найти конкретный базис, например, решение с базисными переменными При необходимости найти этот базис сразу выручит только метод Жордано-Гаусса, и ваша цель – привести расширенную матрицу системы к виду Очевидно, что путешествовать от базиса к базису можно по разным маршрутам и решение следующей системы служит наглядной иллюстрацией данного факта: Пример 2 Найти решение системы линейных уравнений при различных способах выбора базиса В образце первое базисное решение получено методом Жордано-Гаусса, который здесь более выгоден, чем обратный ход метода Гаусса. В предложенной системе перебор базисных решений проведён в следующем порядке: Более стандартна последовательность первого примера, но данный вопрос не принципиален, и для закрепления алгоритма рекомендую попытаться провести решение по альтернативному маршруту, который Птицей счастья завтрашнего дня появляется на экранах ваших мониторов. Постарайтесь выполнить задание самостоятельно! Решение :запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: Найдем решение в базисе Осуществим переход к базису Перейдём к базису Ответ: решение системы при различных способах выбора базиса: Автор: Емелин Александр
Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора?
Будь собой
Рассмотрим произвольную квадратную матрицу, например, Вроде ничего примечательного – умножили матрицу Умножим ту же матрицу на На последнем шаге вынесли константу. Что произошло? В результате умножения матрицы Определение: ненулевой вектор В первых абзацах статьи я выставил собственный вектор «главным действующим лицом», но на самом деле всё немного не так: говорят, что собственный вектор Помимо собственных значений и собственных векторов матрицы, часто говорят о собственных значениях и собственных векторах линейного преобразования, заданного матрицей. В Википедии есть очень удачная геометрическая интерпретация понятия – на репродукции Джоконды синий вектор не меняется в результате перекоса плоскости, а значит, является собственным вектором данного линейного преобразования. Я скуп на внешние ссылки, но здесь не удержался, пожалуйста, сообщите, если данную иллюстрацию вдруг удалят. Однако про геометрию немножко позабудем, поскольку сейчас в термины вектор, базис и др. вкладывается, прежде всего, алгебраический смысл. Собственные векторы и собственные значения используются во многих математических задачах, моделях, и сегодня мы освоим техническую сторону вопроса. Date: 2015-07-23; view: 1601; Нарушение авторских прав |