Графические решения обратных метрических задач над поверхностями

Общие замечания

К числу обратных метри-ческих задач над поверхностя-ми с участием их разверток от-носятся задачи на получение ортогональных проекций свёрток этих поверхностей, получаемых путем графического моделиро-вания процесса сворачивания поверхности из её развёртки.

Практически развёртка по-верхности, все элементы кото-рой представлены в натураль-ную величину, особенностями своей графической структуры ко-дируют позиционную информа-цию об их взаимном располо-жении, а процесс этого кодиро-вания формируется процедурой решения прямой задачи на по-строение фигуры развёртки по-верхности по ей ортогональным проекциям.

Задача 17.10. Постро-ить ортогональные проекции по-верхности додекаэдра по развёр-тке его нижней половины (рис. 17.25).

Анализ условия:

Так как данная по условию развертка R_Ф получена разреза-нием поверхности по её боковым рёбрам и последующим совмеще-нием пяти боковых граней её ниж-ней половины вращением вокруг соответствующих сторон нижнего основания, то получение свёртки поверхности повторяет процесс получения её развёртки в обрат-ном направлении.

Решение: 1. Через каждую из ча-стей В₀ раздвоенной в процессе разворачивания вершины В пове-рхности Ф провести следы плоско-стей вращения вокруг соответст-вующих сторон основания до пе-ресечения в её искомой горизон-тальной проекции В₁.

2. Сторону А₀В₀ продлить до пересечения с осью вращения в точке С_{0 ,}через которую провести прямую, проходящую через В₁, до пересечения с проекцией траектории вращения точки А в её искомой горизонтальной проекции А₁. В данном случае оси вращения выступают как двойные оси родства, проекции траек-торий вращения точек А и В – как напра-вления родства, а пары А₀ –А₁ и В₀ – В₁ как пары родственных точек;

3. Пользуясь теоремой Дезарга (см. п.6.3), по аналогии с действиями п.2 пост-роить искомую горизонтальную проекцию Ф₁ нижней половины додекаэдра Ф;

4. Для определения высоты Н точки А над П₁ необходимо по горизонтальной про-екции А₁ о₁ построить прямоугольный тре-угольник А₁ о₁ А₁¹, в котором катет А₁ А₁¹ метрически равен искомой высоте Н;

5. Отложив на линии связи с А₁ от оси х₁₂ высоту Н, получить фронтальную проек-цию А₂ вершины А. Проекции остальных вершин следует строить моделируя графи-чески внутренние структуры ортогональных проекций додекаэдра, описанные ранее (см. рис. 14.13);

6. Проекции верхней половины додека-

эдра Ф достроить к проекциям его нижней

половины по симметрии с ними, но с изме-нением видимости соответствующих проек- кий рёбер поверхности на обратную.

Рис. 17.26. Графическое построение

ортогональных проекций свёртки цилиндрa

из фигуры круга

1. Какими метрическими харак-теристиками обладают многогран-ные поверхности?

2. Какими метрическими харак-теристиками обладают кривые пове-

рхности?

3. Каково содержание прямых метрических задач над поверхнос-тями?

4. Каково содержание обратных метрических задач над поверхностя-ми?

5. Что называется разверткой поверхности?

6. Какой элемент поверхности является плоским?

7. Какие поверхности состоят из плоских элементов?

8. Какие кривые поверхности развёртываемы точно и почему?

9. Какие элементы кривых пове-рхностей являются косыми и какие поверхности состоят из них?

10. Какие элементы кривых поверхностей являются кривыми и какие поверхности состоят из них?

11. Какие поверхности не явля-ются точно развёртываемыми?

Задача 17.11. Построить ортогона-льные проекции поверхности прямого кру-гового цилиндра, свёрнутой из круга a без нахлёста (рис.17.26).

Анализ условия:

Свернуть из круга a₀ поверхность пря-мого кругового цилиндра Ф без нахлёста означает, что длина диаметра круга a₀ дол-жна быть равна длине окружности нор-мального сечения цилиндра. Тогда возника-ет графическая задача построения радиуса R нормального сечения n по известной длине его окружности. Для этого достато-чно разделить отрезок длины диаметра круга на 12 равных частей и на 1/12 -й части как на основании построить равнобедрен-ный треугольник с углами наклона его сто-рон к этому основанию в 75°. Длины рав-ных сторон этого треугольника прибли-женно равны радиусу R искомой окружно-сти.

Решение: 1. Разделить горизонтальную проекцию m₁ окружности на 12 равных час-тей и построить пары точек фронтальной проекции m₂, соответственные точкам этого

деления;

2. Принять точку середины горизонта-льной проекции m₁ окружности m за точку

В о п р о с ы д л я п о в т о р е н и я:

12. Каковы основные свойства раз-вёрток поверхностей?

13. Какая линия на поверхности явля-ется геодезической и как построить её проекции на проекциях этой поверхности?

14. Что собой представляют фигуры разверток поверхностей платоновых тел?

15. Каково определение развёртки те-траэдра?

16. Каково определение развёртки гек-саэдра или куба?

17. Каково определение развёртки по-верхности октаэдра?

18. Каково определение развёртки пове-

рхности додекаэдра?

19. Каково определение развертки по-верхности икосаэдра?

20. Каково определение развертки изо-зоноэдра куба и октаэдра?

21. Каково определение развёртки по-верхности изозоноэдра додекаэдра и ико-саэдра?

22. Каковы основные методы построе-ния развёрток кривых поверхностей и их многогранных прототипов?

23. В чем состоит сущность метода нормального сечения и развёртки каких поверхностей строятся этим методом?

касания, на перпендикуляре к m₁ отложить величину радиуса R, после чего этим ра-диусом провести окружность n₁ нормаль-ного сечения или горизонтальной проекции горизонтально-проецирующей цилиндриче-ской поверхности Ф;

3. Проведя через центр окружности n₁ 6 диаметров под 30 ° друг к другу, разде-лить её на 12 равных частей;

4. В каждой точке деления перпендику-лярно к радиусу-нормали в ней провести касательную;

5. По каждой касательной последова-тельно отложить от точки касания убываю-щее от 6 до 1 число отрезков, равных 1/12 части длины диаметра круга a₀;

6. Соединить соответственные положе-ния точек на касательных и получить горизонтальные проекции траекторий их сворачивания в виде спиралей Архимеда;

7. По горизонтальным проекциям кон-цов траекторий сворачивания на n ₁ пост-роить их фронтальные проекции;

8. Соединяя построенные фронталь-ные проекции плавной линией с учётом её видимости, получить искомую фронталь-ную проекцию свёртки круга a₀ в поверх-ность прямого кругового цилиндра Ф.

24. В чем состоит сущность метода ра-скатки и развёртки каких поверхностей строятся этим методом?

25. В чем состоит сущность метода триангуляции и развёртки каких поверх-ностей строятся этим методом?

26. В чем заключается сущность ме-ода описанных поверхностей меридиональ-ных цилиндров и развёртки каких по-верхностей строятся этим методом?

27. В чем заключается сущность мето-да описанных поверхностей конусов и цилиндров и развёртки каких поверхностей строятся этим методом?

28. Каким образом можно преобразо-вать поверхности через посредство их раз-вёрток?

29. Как изогнуть цилиндрическую пове-рхность в каналовую?

30. Как изогнуть коническую поверхно-сть в кривой рог и в «бараний рог»?

31. Как преобразовать сферу в закры-тый тор?

32. Что называется свёрткой поверхно-сти?

33. Как графически смоделировать про-цесс сворачивания поверхности из её раз-вёртки?