И их многогранных прототипов

Общие замечания

Так как для построения разверток любых поверхно-стей необходима метричес-кая информация о натураль-ных величинах элементов их линейных каркасов, то совер-шенно очевидно, что в основу методов их построения сле-дует положить те способы ре-шения метрических задач, оп-тимальность которые опреде-ляются особенностями струк-туры этих каркасов.

Так как у цилиндрических поверхностей образующие, а у призма-тических рёбра соответственно парал-лельны, то для построения их развёр-ток необходимо знать натуральные длины образующих или рёбер и натура-льные значения расстояний между ни-ми. Если рёбра или образующие исход-но занимают общее положение, то спо-собом замены плоскостей проекций их следует перевести в положение линий уровня, в результате чего определятся их длины. Для определения расстояний между их совмещенными с плоскостью положениями применяют два метода:

1. Метод нормального сечения, сущность которого сводится к опред-лению фигуры нормального сечения поверхности призмы или цилиндра, пе-риметр которой определяет ширину фигуры развертки.

2. Метод раскатки, основанный на

применении способа вращения вокруг линий уровня, роль которых играют по-следовательно совмещаемые с одной плоскостью рёбра призмы или обра-зующие цилиндра.

Так как у пирамидальных поверх-ностей рёбра, а у конических образу-ющие пересекаются в их вершинах, то наиболее рационально определять их длины способом вращения вокруг про-ецирующих осей, соответственно про-ходящих через эти вершины. У пирами-ды грани треугольные, у конуса смеж-ные образующие в совокупности с соот-ветствующими участками его основа-ния образуют треугольники и поэтому развертки этих поверхностей строятся методом триангуляции.

Метод триангуляции универсален в том смысле, что любую поверхность можно покрыть триангуляционной се-тью, приняв тройки точек её точечного каркаса за вершины её треугольных граней. Проблема построения развёрт-ки такой поверхности сводится к опре-делению натуральных величин таких треугольников.

Так как линейный каркас любой по-верхности вращения является систе-мой конкурентных параллелей и мери-дианов, то возможны два варианта её аппроксимации развертываемыми по-верхностями:

1-й вариант. Конгруэнтные мери-дианы поверхности вращения попарно определяют аппроксимирующие её ци-линдрические поверхности, параллель-ные образующие которых скрещивают-ся с осью вращения под прямым углом. Если двугранные углы между плоско-стями этих меридианов одинаковы, то определяемые ими «лепестки» цилин-дрических поверхностей будут конгру-энтными, что определяет конгруэнтно-сть фигур их развёрток. Отсюда выте-кает метод вписанных или описанных меридиональных цилиндров.

2-й вариант. Подобные друг другу смежные параллели-окружности попар-но определяют поверхности вписанных конусов с вершинами на оси вращения, а конгруэнтные параллели в районе экватора или горловины определяют поверхности прямых круговых цилинд-

ров. Отсюда вытекает метод вписан-

ных - описанных конусов и цилиндров.

Рис.17.11. Построение разверток

поверхностей прямого кругового цилиндра с различным расположением их оснований

Рис. 17.12. Построение развертки

боковой поверхности 4-гранной призмы

способом нормального сечения