Метод триангуляции

(рис.17.16, 17.17)

Задача 17.6. Определить площадь поверхности одинакового ската Ф

(рис. 17.16).

Так как ребро возврата данной ра-звертываемой поверхности одинаково-го ската находится за пределами черте-жа, то её 4-хугольные плоские элемен-ты следует разбить диагоналями на треугольники.

Решение: 1. Провести проекции ди-агоналей 23, 45,... плоских элементов;

2. Определить натуральные величи-ны сторон полученных треугольников;

3. По натуральным величинам сто-рон построить искомую развёртку R_Ф. поверхности Ф.

Рис.17.16. Построение развёртки поверхности одинакового ската методом триангуляции

4. Вычислить площадь поверхности Ф как сумму площадей треугольников, слагающих фигуру развёртки R_Ф.

Рис.17.17. Построение развертки 1/12 части поверхности однополостного гиперболоида ращения

Задача 17.7. Определить площадь поверхности данного. однополостного гиперболоида Ф (рис.17.17).

Анализ условия

Однополостный гиперболоид вра-щения относится к числу прямолиней-чатых неразвертываемых поверхнос-тей с двумя семействами равнонакло-нённых к плоскости основания обра-зующих, которые попарно скрещивают-ся, образуя её косые элементы.

Пересекаясь между собой, соответ-ственные смежные образующие обеих семейств формируют пространствен-ные 4-хугольники различных типораз-меров. Их 4 стороны можно предста-вить как 4 ребра некоторых тетраэдров, 2 недостающих ребра которых соединя-ют их противоположные вершины. От-сюда вытекают два варианта триангу-ляции всей поверхности.

1-й вариант – каждый пространст-венный 4-хугольник разбивается на два треугольника его диагональю, соеди-няющей наиболее удалённые верши-ны (как на рис. 17.17);

2-й вариант – то же, когда диаго-наль соединяет наименее удалённые вершины (нетрудно представить).

На рис. 17.17. представлено реше-ние 1-го варианта.

Структурный анализ аппроксимиро-ванной поверхности показывает, что у неё есть горизонтальная плоскость симметрии s, относительно которой со-ответственые элементы её линейного каркаса метрически равны. Кроме того, её можно представить как систему 12 конгруэнтных косых полос, аппрокси-мированных треугольниками, которые можно совместить с одной плоскостью.

Решение: 1. Провести большие ди-агонали пространственных 4-хугольни-ков, соответственно принадлежащие

24 меридиональным плоскостям, про-ходящим через ось вращения і;

2. Выделить одну из 12 конгруэнт-ных косых аппроксимированных полос;

3. Определить натуральные вели-чины сторон всех треугольников спосо-бом вращения вокруг оси поверхности;

4. По полученным натуральным ве-личинам сторон треугольников, после-довательно пристраивая друг к другу

их натуральные величины, получить

плоскую фигуру 1/12 части развертки всей поверхности;

5. Определить площадь 1/12 части поверхности как сумму площадей сла-гающих её треугольников и площадь всей поверхности как величину, в 12 раз большую, чем площадь её 1/12 час-ти.