Кольцо классов вычетов
Множество всех классов вычетов по модулю т обозначается или Введем на этом множестве операции сложения классов и умножения классов.
Суммой классов и называется класс т.е. класс, содержащий число 
Произведением классов и называется класс , т.е. класс, содержащий число .
Эти определения корректны, так как сумма любых двух представителей классов и всегда попадает в один и тот же класс, содержащий число Аналогичное утверждение имеет место и для произведения.
Действительно, если то следовательно, и т.е. 
Таким образом, определения суммы и произведения классов не зависят от выбора представителей классов.
Пример: Таблица сложения и умножения по модулю 6.
Теорема. Относительно введенных действий сложения и умножения классов множество – ассоциативное, коммутативное кольцо с 1.
Доказательство заключается в проверке аксиом кольца. ■
Теорема. Кольцо классов вычетов по простому модулю – поле.
Доказательство: Пусть р – простое число, Тогда и по теореме Ферма Отсюда т.е. обратным к классу является класс Мы получили, что любой ненулевой класс в имеет обратный, а это означает, что – поле. ■
Date: 2015-07-02; view: 1783; Нарушение авторских прав Понравилась страница? Лайкни для друзей: |
|
|