Кольцо классов вычетов

Множество всех классов вычетов по модулю т обозначается или Введем на этом множестве операции сложения классов и умножения классов.

Суммой классов и называется класс т.е. класс, содержащий число

Произведением классов и называется класс , т.е. класс, содержащий число .

Эти определения корректны, так как сумма любых двух представителей классов и всегда попадает в один и тот же класс, содержащий число Аналогичное утверждение имеет место и для произведения.

Действительно, если то следовательно, и т.е.

Таким образом, определения суммы и произведения классов не зависят от выбора представителей классов.

Пример: Таблица сложения и умножения по модулю 6.

Теорема. Относительно введенных действий сложения и умножения классов множество – ассоциативное, коммутативное кольцо с 1.

Доказательство заключается в проверке аксиом кольца. ■

Теорема. Кольцо классов вычетов по простому модулю – поле.

Доказательство: Пусть р – простое число, Тогда и по теореме Ферма Отсюда т.е. обратным к классу является класс Мы получили, что любой ненулевой класс в имеет обратный, а это означает, что – поле. ■