Многократное малоугловое рассеяние нейтронов. Формула Мольер
Одной из характеристик движения нейтрона в среде является величина, называемая длиной свободного пробега нейтрона . Это среднее расстояние, которое нейтрон проходит в материале без рассеяния, или, другими словами, на этой длине рассеивается в среднем один раз. Найдем связь длины рассеяния с параметрами образца. Пусть образец имеет вид, как показано на рис.7.3а, т.е. это толстый (толщины L) образец со случайным расположением в нем неоднородностей. Нейтрон, влетая в вещество, взаимодействует с неоднородностями, размеры которых существенно превышают характерные размеры нейтрона. Поскольку нам важны сами факты рассеяния, представим себе картину движения нейтрона в среде иначе (см. рис.7.3б). Пусть теперь нейтрон имеет размер, равный среднему размеру неоднородностей, а сами рассеивающие центры имеют точечные размеры. Очевидно, что вероятность рассеяния от этого не изменится. Теперь нейтрон, двигаясь в среде, заметает некоторый объем и число актов рассеяния равно числу точек (расеивателей) в этом объеме. Таким образом одного нейтрона получаем цилиндр взаимодействия некоторой длины l и площадью основания, равной полному сечению рассеяния .
|
| а б
Рис. 7.3. К выводу формулы для длины рассеяния.
Пусть N – количество рассеивателей, которые попали в этот цилиндр. Тогда
| ,
| (7.9)
| где с – концентрация неоднородностей. Полагая в формуле (7.9) получаем, что
| .
| (7.10)
| Если толщина образца , то рассеяние является однократным. При этом можно пренебречь тем, что нейтрон, рассеянный на одной неоднородности, может еще раз рассеяться на другой неоднородности. В обратном случае рассеяние называется многократным. Для описания такого рассеяния обычно используется теория Мольер, предполагающая, что неоднородности в образце расположены абсолютно случайно, и, следовательно, рассеянные волны от различных неоднородностей складываются некогерентно.
Вместо вектора рассеяния удобно рассматривать безразмерный вектор . Так как модуль этого вектора равен углу рассеяния , мы будем также называть его углом рассеяния.
Рассмотрим сначала однократное рассеяние. Вероятность однократного рассеяния нейтрона на угол равна
где дифференциальное сечение рассеяния нейтрона на угол .
Вероятность получить полный угол рассеяния при взаимодействии с двумя рассеивающими центрами имеет вид:
| .
| (7.11)
| Действительно, если нейтрон первый раз рассеялся на угол , то во второй раз ему необходимо рассеяться на угол , чтобы суммарный угол рассеяния был равен . Считая данные события независимыми, перемножаем их вероятности. Так как угол может быть любым, то в (7.11) интегрируем по . Поскольку подынтегральное выражение отлично от нуля только при малых , то пределы интегрирования можно взять бесконечными. Аналогично получаем вероятность n-кратного рассеяния на угол 
| .
| (7.12)
| Пусть фурье-образ 
.
Переход в Фурье-пространство значительно упрощает задачу, поскольку свертка функций в выражении (7.12) превращается в их произведение
| .
| (7.13)
| В образце нейтрон может рассеяться произвольное количество раз. Интенсивность рассеяния на угол на образце толщиной L будет выражаться суммой по всем кратностям рассеяния 
| ,
| (7.13)
| где – вероятность того, что нейтрон рассеется n раз. Здесь значению отвечают нейтроны, прошедшие образец, не испытав рассеяния. Очевидны следующие соотношения: , . Фурье представление интенсивности рассеяния
| .
| (7.14)
| Найдем вероятности P (n). Для этого разобьем образец на слоев (см. рис. 7.4) толщиной . Вероятность рассеяться в одном тонком слое равна
| .
| (7.15)
| Вероятность, что нейтрон в слоях рассеется раз, определяется биномиальным распределением
.
Для получения окончательного выражения надо устремить число слоев к бесконечности. Так как при произведение остается постоянным, то биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона
| .
| (7.16)
| Подставляя (7.16) в (7.14), получаем

Учитывая, что находим фурье-образ интенсивности рассеяния
| .
| (7.17)
| Совершая обратное преобразование Фурье, получаем:
| .
| (7.18)
| Эта формула называется формулой Мольер, она широко используется при изучении материалов методом многократного малоуглового рассеяния нейтронов.
Date: 2015-07-01; view: 772; Нарушение авторских прав Понравилась страница? Лайкни для друзей: |
|
|