Амплитуда и сечение рассеяния

Вопрос 1.

Рассмотрим рассеяние медленного нейтрона на атомном ядре, считая последнее закрепленным в начале координат. Координату нейтрона обозначим через . Сначала будем пренебрегать наличием спинов. Тогда волновая функция нейтрона будет функцией и времени : , где – комплексное число. Распространение нейтронов описывается временным уравнением Шредингера

,

(1.1)

где – масса нейтрона, – потенциальная энергия взаимодействия нейтрона с веществом. Получим выражение для плотности потока частиц. Запишем комплексно-сопряженное уравнение к уравнению Шредингера (1.1)

.

(1.2)

Умножим уравнение (1.1) на , уравнение (1.2) на , и вычтем из первого второе.

.

(1.3)

Преобразовав (1.3), получаем

.

(1.4)

Так как плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатой равна , находим

(1.5)

Обычно r называют просто плотностью частиц. Она удовлетворяет уравнению непрерывности

,

(1.6)

где − вектор плотности потока частиц:

.

(1.7)

Важнейшей величиной при описании процесса упругого рассеяния частиц является сечение рассеяния. Дифференциальным сечением рассеяния называется отношение числа частиц, рассеянных в угол , к плотности потока падающих частиц

.

(1.8)

Интегральное или полное сечение рассеяния получается интегрированием (1.8) по всем телесным углам

.

(1.9)

Оно представляет собой отношение полной вероятности рассеяния частицы в единицу времени к плотности потока падающей волны.

Пусть вдоль оси OZ на мишень падает поток частиц. Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси OZ, описывается плоской волной . В результате взаимодействия с мишенью частицы отклоняются на угол , называемый углом рассеяния. На достаточно большом расстоянии от мишени, вне зоны взаимодействия, поток нерассеянных частиц, описываемых плоской волной, будет складываться с потоком рассеянных частиц, описываемых расходящейся сферической волной

.

(1.10)

Данное выражение является определением амплитуды рассеяния f (q). Подставляя в (1.7) находим плотность потока падающей волны

,

(1.11)

а, подставляя в (1.7) , находим радиальный поток рассеянной сферической волны

.

(1.12)

В итоге из (1.8), (1.11) и (1.12) находим связь между амплитудой рассеяния и дифференциальным сечением рассеяния

.

(1.13)