Фокусное свойство гиперболы

Отрезок, соединяющий фокус с точкой на гиперболе называется фокальным радиусом.

Утверждение. Пусть фокальный радиус с левого фокуса , а фокальный радиус с правого фокуса к одной и той же точки на гиперболе.

Тогда для точек левой ветви гиперболы

а для точек правой ветви

Доказательство. Пусть - расстояние от точки на гиперболе к левому фокуса. Вычислим ее:

Аналогично находим

Рассмотрим правую ветвь. Для точек правой ветви имеем Так как то Значит и Раскрыв модули, находим

Рассмотрим левую ветвь. Для точек левой ветви имеем Так как то Следовательно и Раскрыв модули, находим

Как следствие получаем фокусное свойство гиперболы.

Для любой точки на гиперболе

Доведння. Если точка находится на правой ветке, то Если же точка на левой ветке, тогда Значит

Фокусное свойство полностью Характеризуя гиперболу.

Упражнение. Доказать, что геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух различных заданных точек равна является гиперболой с фокусами и действительной полуосью