Директориальна свойство эллипса

Утверждение. Для любой точки на эллипсе

где - расстояния от точки до соответствующих директрис.

Доказательство. Действительно,

Тогда

завершающий доказательства.

Директориальна свойство Характеризуя эллипс.

Упражнение. Пусть - фиксированная прямая, - фиксированная точка, не лежит на этой прямой. Геометрическое место точек на плоскости, отношение расстояний от которых до расстояний от до есть величина постоянная является эллипс с эксцентриситетом, фокусом и директрисой

Пример. Написать уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет фокус и уравнение соответствующей директрисы

1 способ с использованием канонического уравнения.

Поскольку директриса перпендикулярна оси то оси эллипса параллельные осям координат, каноническая система получается из данной параллельным переносом начала координат в центр эллипса. Поскольку то ось совпадает с Пусть центр эллипса находится в точке

- расстояние от центра эллипса до фокуса; - расстояние от центра до директрисы. Итак, расстояние от фокуса до директрисы

Поскольку то Находим

Итак Находим Центр эллипса

находится в точке Находим

Каноническое уравнение эллипса:

С учетом параллельного переноса отрумуемо общее уравнение эллипса:

2 способ с использованием директориальнои свойства.

Отношение расстояния от произвольной точки эллипса до фокуса (в нашем случае ) к расстоянию от точки до соответствующей директрисы (в нашем случае ) равна эксцентриситета Итак

Выделением полных квадратов из этого уравнения можно получить каноническое.