Пара прямых, совпадают

Это уравнение задает одну прямую - ось Но так как эта прямая является предельной для пары прямых при то говорят о паре прямых, совпадают. Эта кривая так же имеет бесконечно много осей симметрии, перпендикулярных оси и линию центров симметрии - ось

Классификационная теорема для кривых второго порядка.

Сущность классификационной теоремы состоит в том, что выбором прямоугольной декартовой системы координат уравнения любой кривой 2-го порядка может быть приведено к уравнению эллипса, гиперболы, параболы, воображаемого эллипса и перечисленным 5 типам уравнений пар прямых.

Эллипс (действительный и мнимый), гипербола и парабола образуют класс кривых 2-го порядка, которые не распадаются. Остальные кривых 2-го порядка - это кривые, которые распадаются (по парам прямых).

По количеству центров симметрии кривые 2-го порядка делят на центральные, имеющих единый центр симметрии, и нецентральные, не имеющих центра симметрии или имеющих более одного центра симметрии. К типу центральных относятся эллипсы (действительный и мнимый), гипербола, пары прямых, пересекающихся (действительных и мнимых). К нецентральных относятся парабола, пары параллельных прямых (действительных и мнимых) и пара прямых, совпадают.

Заметим, что в пересечении этих классов лежит парабола, она является единственной нецентральной кривой 2-го порядка, не распадается.

Теорема. Пусть

уравнение кривой второго порядка. Тогда существует декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение данной кривой приводится к одному из типов:

· 1. - Эллипс,

·

· 2. - воображаемый эллипс,

· 3. - гипербола,

·

· 4. - парабола,

·

· 5. - пара прямых, которые пересекаются,

·

· 6. - пара мнимых прямых, которые пересекаются,

·

· 7. - пара параллельных прямых ,

·

· 8. - пара параллельных воображаемых прямых ,

·

· 9. - пара прямых, совпадают.

·

· Некоторые способы образования поверхностей

·

· Цилиндрические поверхности

·

· Пусть - плоская кривая, то есть лежит в плоскости Через каждую точку кривой проведём прямую в направлении вектора который не параллелен плоскости Полученная поверхность называется цилиндром, построенным над Сама кривая называется направляющей, а семья параллельных прямых называется семье образующих цилиндра.

· Можно записать параметрическое уравнение цилиндрической поверхности. Пусть кривая имеет параметрическое (векторное) уравнение При фиксированном значении мы точку на Напишем параметрическое уравнение прямой через точку
в направлении вектора

·

· Это параметрическое уравнение цилиндрической поверхности с направляющей и прямолинейными образующими параллельными Векторное уравнение этой поверхности

· Если прямолинейные образующие перпендикулярны плоскости в которой лежит кривая то поверхность называется прямым цилиндром, построенным над По типу направляющей цилиндрам дают соответствующие названия. Например, "прямой круговой цилиндр" - цилиндр, построенный над кругом.

· Уравнение прямого цилиндра задать очень легко. Расположим в плоскости оси координат , а ось направим перпендикулярно есть вдоль образующих цилиндра. Пусть - неявное уравнение кривой Тогда для любой точки с координатами на цилиндрической поверхности, координаты связаны соотношением а координата является произвольной, то есть уравнение поверхности формально совпадает с уравнением кривой:

·

· это неявное уравнение прямого цилиндра.

· Поверхности вращения

· Пусть - кривая в некоторой плоскости и - прямая, лежащая в плоскости и не пересекает поверхность которая образуется кривой при вращении плоскости вокруг прямой называется поверхностью вращения. Кривая называется профильной кривой, - осью вращения.

· Запишем параметрическое уравнение поверхности вращения. Примем прямую как ось а вот направим перпендикулярно оси в плоскости лежит кривая Вот направим перпендикулярно Предположим, что задана уравнением В начальный момент плоскость совпадает с Вернем плоскость на некоторый угол фиксируя положение осей и для любой точки координата при этом не изменится. Не изменится и расстояние от оси вращения к новому положению точки есть при каждом фиксированном значении при вращении плоскости вокруг оси точка которая в начальный момент имела координаты движется по окружности радиуса в плоскости Параметрическое уравнение круга Итак параметрическое уравнение поверхности вращения:

·

· Уравнение поверхности вращения получить особенно легко, если кривая может быть задана в виде графика некоторой функции. Предположим, что лежит в плоскости и задана уравнением При вращении вокруг оси координата любой точки при этом не изменится. Не изменится и расстояние от оси вращения к новому положению точки Следовательно, уравнение которое связывает координаты точек поверхности примет вид:

·

· Следствие. Если - неявное уравнение кривой, которая лежит в плоскости то

·

· неявное уравнение поверхности вращения вокруг оси

· Пример. Прямая вращается вокруг оси Найдите уравнение поверхности вращения.

· При вращении вокруг оси точка с координатами движется по кругу, которое лежит в плоскости и имеет центр в точке Найдем радиус круга Напишем параметрическое уравнение поверхности вращения:

·

· Мы получили неявное уравнение этой же поверхности. В разделе "гиперболоиды" мы выясним, что это однополостный гиперболоид вращения с центром в точке

·

· Поверхности переноса.

· Рассмотрим плоскость и пусть кривая Зафиксируем точку и построим плоскость пересекающей плоскость по прямой проходящей через точку Пусть некоторая кривая в плоскости причем Фиксируя плоскость будем параллельно переносить плоскость как твердое тело, вдоль кривой так, чтобы точка при движении находилась на кривой поверхность образована кривой называется поверхностью переноса.

· Уравнение поверхности переноса легче получить если плоскости и взаимно перпендикулярны. Примем прямую как ось и оси и направим в плоскостях и Предположим, что уравнение а уравнение Тогда координата точки на поверхности переноса состоит из координаты в плоскости над осью и координаты точки над осью в плоскости есть координата движущейся точки определяется выражением:

·

Эллипсоиды.

В плоскости возьмем эллипс

и будем вращать его вокруг оси получим поверхность с уравнением

которая называется эллипсоидом вращения.

Итак, эллипсоид вращения получается вращением канонического эллипса вокруг меньшей полуоси.

Если мы будем проводить сжатие пространства вдоль оси с коэффициентом то с эллипсоида вращения мы получим так называемый трехосный эллипсоид:

Действительно, если точка с координатами лежит на эллипсоиде вращения

то точка с координатами на поверхности эллипсоида

Трехосный эллипсоид выходит из эллипсоида вращения сжатием вдоль оси

И так имеем такое

Определение. Геометрическое место точек пространства, координаты которых относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат удовлетворяет уравнению

называется эллипсоидом. Данное уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида, а соответствующая система координат называется канонической. Если то поверхность называется эллипсоидом вращения.

(Случай мы не рассматриваем, - в этом случае поверхность является сферой.)

Замечания. Уравнение

определяет пустую множество в пространстве, но по аналогии с эллипсоидом говорят, что это уравнение задает воображаемый эллипсоид.

Эллипсоид имеет три плоскости симметрии - координатные плоскости, три оси симметрии - оси координат и единый центр симметрии - начало координат.

Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями вида В проекции на плоскость получим семью эллипсов

с полуосями

Сечения существуют при Аналогично по другим осям.

Пример. Даны вершины эллипсоида Найдите уравнение этого эллипсоида, то если известно, что его оси симметрии параллельные осям координат и плоскость пересекает его по эллипсу:

Известно, что вершины находятся на оси симметрии, а центр эллипсоида расположен посередине между вершинами. Итак, - ось симметрии, -центр симметрии.

Заметим, что если оси симметрии эллипсоида параллельные осям координат, а центр имеет координаты то уравнение эллипсоида имеет вид:

В нашем случае:

Параметр - это расстояние от центра до вершин, то есть Подставляем это значение в уравнение эллипсоида и находим пересечение с плоскостью

Сравниваем это уравнение с известным, получаем:

Следовательно, уравнение эллипсоида: