Парабола

Геометрическое место точек на плоскости, координаты которых в некоторой прямоугольной декартовой системе координат, удовлетворяющих уравнению

называется параболой. Это уравнение называется каноническим уравнением параболы, а соответствующая система координат называется канонической системой координат.

Геометрическими характеристиками параболы являются:

· - ось симметрии или фокусное ось;

· параметр , который называется фокальным параметром;

· точка - фокус параболы;

· прямая - директриса параболы.

Пример. Установить, что уравнение задает параболу, найти все ее параметры.

Выделяем полный квадрат

или

Итак, ось симметрии параллельна оси , параметр равен Вершина имеет координаты Ветви параболы направлены вниз. Фокус находится на оси симметрии на расстоянии вниз от вершины параболы, то есть в точке Директриса имеет уравнение

Каноническое уравнение этой параболы Каноническая система координат: ось совпадает с , которая направлена ​​вниз, ось совпадает с

Отрезок, соединяющий две точки параболы и происходит через фокус называется фокальной хордой.

Отрезок, который связывает фокус с любой точкой на параболе называется фокальным радиусом.

Утверждение. Для произвольной точки на параболе ее фокальный радиус имеет вид:

Доказательство. Пусть принадлежит параболе. Тогда

так як

Геометрический смысл фокального параметра проясняет

Утверждение. Фокальный параметр равен половине длины фокальной хорды, перпендикулярной фокальной оси.

Доказательство. Уравнение прямой, проходящей через фокус перпендикулярно фокальной оси: Итак, точки пересечения этой прямой с параболой:

Длина соответствующей хорды:

Действительно, фокальный радиус точки на параболе, которая имеет ординату равна