Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Решение. а). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки иа). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки и . Тогда . Определим вид особых точек и найдем в них вычеты. , следовательно . , следовательно - полюс. Так как , то - полюс порядка . . Таким образом, . б). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки и . Тогда . Так как и - полюсы первого порядка, то для вычисления вычетов применим формулу , где , , . , Таким образом, . Задание 11. Вычислить интегралы с помощью вычетов. а) ; б) ; в) . Решение. а) Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного: Пусть - рациональная функция, , где и - многочлены степени и соответственно. Если функция непрерывна на всей действительной оси и , т.е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то
где означает сумму вычетов функции по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости. Так как подынтегральная функция четная, то = . Построим функцию , которая на действительной оси (при ) совпадает с подынтегральной функцией . Особые точки функции - это точки и . Из них в верхней полуплоскости находится точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции относительно полюса равен = . Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка, то . Следовательно, = . б) Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного: Пусть - рациональная функция, , где и - многочлены степени и соответственно. Если функция непрерывна на всей действительной оси, , - произвольное действительное число, то ; где означает сумму вычетов функции по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости. Так как подынтегральная функция является четной, то = . Построим функцию = такую, что на действительной оси (при ) совпадает с : . Отметим, что при справедливо равенство . Функция имеет в верхней полуплоскости полюс первого порядка в точке . Вычет функции относительно этого полюса равен = . Следовательно, = и = . в) Сформулируем правило, позволяющее вычислить определенный интеграл функции, зависящей рационально от тригонометрических функций с помощью теории функций комплексного переменного: Пусть - рациональная функция аргументов и , и функция непрерывна внутри промежутка интегрирования. Полагаем , тогда , , , . В этом случае = где есть сумма вычетов функции относительно полюсов, заключенных внутри окружности . В рассматриваемом интеграле применим подстановку и после преобразований получим: = . Внутри круга радиуса 1 с центром в начале координат содержится только одна особая точка подынтегральной функции - это точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции относительно точки равен = . Следовательно, = .
|