Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Решение. а) Функция имеет две особые точки иа) Функция имеет две особые точки и . Отметим их на плоскости Z, проведем 2 окружности с центром в точке , проходящие соответственно через точки и . Следовательно, имеется три области, в каждой из которых функция является аналитической: 1) ; 2) кольцо ; 3) область , являющаяся внешностью круга .
Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу (1) справедливую при . Представим функцию в виде суммы элементарных дробей: . 1) Рассмотрим круг . Запишем элементарные дроби и в виде , где при . Представим функцию следующим образом: . Теперь к таким дробям применима формула (1). Так как в рассматриваемой области , то в силу формулы (1) . Так как и тем более (если , то тем более ), значит, в силу формулы (1) . Следовательно, = = Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана. 2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде . В знаменателях дробей мы записали выражения вида , где . Так как , то и в силу формулы (1) . Так как , то, как и в предыдущем случае, . Следовательно, = = . Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана. 3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) . В рассматриваемой области , значит и поэтому . Функцию представим в виде . В силу полученных разложений имеет место равенство = . Полученное разложение содержит только главную часть ряда Лорана. б) Функция имеет 2 особые точки и , отметим их на плоскости Z. Точка совпадает с точкой . Проводим окружность с центром в точке , проходящую через точку . Следовательно существуют две области, в каждой из которых функция является аналитической: 1) кольцо 2) кольцо Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу (1). Представим функцию в виде суммы элементарных дробей: 1) Требуется получить разложение функции по степеням z–1 в области . Первая дробь уже представляет собой степень . Для того, чтобы вторую дробь представить в искомом виде, сделаем замену , тогда и . Дробь разложим по степеням как в предыдущем примере. При воспользуемся представлением: ; Сделаем обратную замену. Получим, что при функция представима в виде . Полученное разложение содержит правильную и главную часть ряда Лорана. 2) Аналогично, сделав замену , получаем представление дроби в области Сделав обратную замену, получаем, что при функция представима в виде: . В первом случае главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое, во втором случае ряд Лорана состоит только из одной главной части. Задание 7. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности особой точки . Решение. Воспользуемся известным разложением: . Задание 8. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек. a) ; б) ; в) .
|